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2154 道题每页 40 题

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未开始	极限压轴-M05参数积分的消项选择与二阶极限对实参数 $\alpha$ ，定义 $A_n(\alpha)=\int_0^1\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n+\alpha}\,dx.$ 求唯一的 $\alpha$ ，使 $A_n(\alpha)-(e-1)$ 的 $1/n$ 阶项消失； 2. 对该 $\alpha$ 计算…	数学一数学极限压轴 · 参数渐近与定积分	逐题解析	提高挑战 100
未开始	极限压轴-M06双参数对称矩阵的正定域与奇异边界设 $A(a,b)=\begin{pmatrix}1&a&b\cr a&1&a\cr b&a&1\end{pmatrix},\qquad r=\begin{pmatrix}1\cr0\cr-1\end{pmatrix}.$ 求 $A(a,b)$ 正定的全部参数区域； 2. 完整分类 $A(a,b)$ 奇异时的秩，并给出各边界上的零空间； 3.…	数学一数学极限压轴 · 参数矩阵与相容性	逐题解析	提高挑战 100
未开始	极限压轴-M01积分补偿极限的四阶一致展开设 $I_n=\int_0^1\left(1+\frac{x}{n}\right)^n e^{-x}\,dx.$ 计算 $\lim_{n\to\infty}n^4\left(I_n-1+\frac1{6n}-\frac{13}{120n^2}+\frac{407}{5040n^3}\right),$ 并严格说明展开余项在…	数学一数学极限压轴 · 极限与定积分	逐题解析	提高挑战 100
未开始	极限压轴-M02三对角矩阵秩一扰动的全参数分类设 $n\ge2$ ， $T_n$ 是主对角元为 $2$ 、两条副对角元为 $-1$ 的 $n$ 阶实对称三对角矩阵， $e=(1,\ldots,1)^T$ ，并令 $A_n(\lambda)=T_n+\lambda ee^T.$ 求 $\det A_n(\lambda)$ ； 2. 求使 $A_n(\lambda)$ 奇异的唯一参数，并在该参数下求秩与零…	数学一数学极限压轴 · 线性代数	逐题解析	提高挑战 100
未开始	极限压轴-M05三重矩条件驱动的四阶中值定理链设 $f\in C^4[0,1]$ 满足 $f(0)=1,\qquad f(1)=4,$ 以及 $\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{11}{10},\qquad \int_0^1xf(x)\,dx=\frac{23}{30},\qquad \int_0^1x^2f(x)\,dx=\frac{22}{35}.$ 求满足上述五…	数学一数学极限压轴 · 中值定理与积分矩	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-01-01三重积分矩逼出五零点链设 $f\in C^4[0,1]$ ，满足 $f(0)=2,\qquad f(1)=3,$ 以及三重积分矩 $\int_0^1 f(x)\,dx=\frac{43}{30},\qquad \int_0^1xf(x)\,dx=\frac{23}{30},\qquad \int_0^1x^2f(x)\,dx=\frac{59}{105}.$ 1.…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 积分矩	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-02-01非等距五节点反演四阶导数设 $f\in C^4[0,8]$ ，五个非等距节点数据如下： $\begin{array}{c\|ccccc} x&0&1&3&5&8\\ \hline f(x)&-1&4&206&1464&9111 \end{array}$ 只用多项式系数比较与线性方程组消元，求通过五点的四次多项式 $P(x)$ ； 2. 构造辅助函数并证明存在…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 离散节点	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-03-01指数权积分条件隐藏的二阶中值设 $f\in C^2[0,1]$ ，满足 $f(0)=0,\qquad f(1)=4,\qquad \int_0^1e^{2x}f(x)\,dx=e^{2}.$ 求满足同样三个条件的唯一二次多项式 $P$ ，并完整计算指数权积分； 2. 证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 辅助函数	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-04-015 阶有限差分锁定高阶导数设 $f\in C^{5}[-1,4]$ ，并给出连续整数节点数据 $\begin{array}{c\|cccccc} x&-1&0&1&2&3&4\\ \hline f(x)&-17&-2&1&10&163&958 \end{array}.$ 直接计算交错和…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 有限差分	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MATH-05-013 阶对数余项的全局最优常数令奇数 $r=3$ ，并定义 $R_r(x)=\frac{x^{1}}{1}-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ln(1+x),\qquad x>0.$ 求使 $R_r(x)\ge a x^{r+1}/(1+x)$ 对所有 $x>0$ 成立的最大实数 $a$ ； 2. 对最优参数定义…	数学一数学深水训练 · 不等式 · 积分极限	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MATH-06-01复合指数四阶消项后的参数积分固定 $a=1$ ，令 $\Phi_n(x)=\left(1+\frac{ax}{n}\right)^ne^{-ax},\qquad 0\le x\le1.$ 求多项式 $A_1(x),A_2(x),A_3(x)$ ，使…	数学一数学深水训练 · 极限 · 一致渐近	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-H01-01积分约束逼出二阶导数并锁定等号设 $f\in C^2[0,1]$ ，满足 $f(0)=f(1)=0,\qquad \int_0^1f(x)\,dx=1.$ 不使用积分型余项公式，证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f''(\xi)=-12$ ； 2. 证明时必须单独处理 $f$ 与比较函数完全重合的情形，并说明“积分为零”为什么足以产生一个内部零点，而不能只写“由连续性…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 比较函数	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-H02-01从端点导数条件推出割线切线重合设 $f\in C^1[0,1]$ 且 $f'(0)=f'(1)$ 。 1. 只用极值定理、费马定理和导数定义，证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f'(\xi)=\frac{f(\xi)-f(0)}{\xi}.$ 不得直接引用任何未在课本中出现的命名中值定理； 2. 你的证明必须覆盖 $f(1)-f(0)$ 分别大于、等于和小于…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 商函数极值	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-H03-01乘法区间上的唯一对数中值点设 $0<a<b$ ， $f\in C^1[a,b]$ 且 $f(x)>0$ 。 1. 证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $\frac{\ln f(b)-\ln f(a)}{\ln b-\ln a}=\frac{\xi f'(\xi)}{f(\xi)};$ 说明这不是对 $f$ 直接套拉格朗日中值定理，并完整检查柯西中值定理的分母条件； 3.…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 对数坐标	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-H04-01双端切触与中心值锁定四阶导数设 $f\in C^4[-1,1]$ ，满足 $f(-1)=f(1)=f'(-1)=f'(1)=0.$ 证明存在 $\xi\in(-1,1)$ 使 $f^{(4)}(\xi)=24f(0);$ 不得把“端点二重零点”直接当作五个互异零点使用。必须逐层写出罗尔定理如何处理重零点，并说明 $f(0)=0$ 时是否需要另行讨论； 3. 若…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 重零点	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-H05-01带切线修正的二阶柯西中值公式设 $f,g\in C^2[a,b]$ ，并且 $g(b)-g(a)-g'(a)(b-a)\ne0,\qquad g''(x)\ne0\ (a<x<b).$ 从罗尔定理出发证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 二阶余项	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-H06-01端点重零点与积分条件共同逼出三阶导数设 $f\in C^3[0,1]$ ，满足 $f(0)=f'(0)=0,\qquad f(1)=1,\qquad \int_0^1f(x)\,dx=\frac14.$ 证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f'''(\xi)=6$ ； 2. 必须说明四个条件如何分别参与比较函数的选择和零点链的形成，不能只写“由广义罗尔定理”； 3. 若把积分…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 积分造零点	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-H01-01临界递推的主阶与对数修正给定 $0<x_1<1/2$ ，递推定义 $x_{n+1}=x_n-x_n^3+x_n^5.$ 证明数列始终有定义、严格递减并收敛到 $0$ ； 2. 不使用 Stolz 定理，求 $\lim_{n\to\infty}n x_n^2;$ 进一步证明存在有限常数 $C=C(x_1)$ 使…	数学一数学深水训练 · 极限 · 非线性递推	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-H02-01对数核参数积分的拆分与端点恢复对 $a\ge0$ 定义 $I(a)=\int_0^{\infty}\frac{\ln(1+a^2x^2)}{1+x^2}\,dx.$ 证明该反常积分对每个 $a\ge0$ 收敛； 2. 不使用复变函数，求 $I(a)$ 的精确闭式。参数求导必须先在 $[0,R]$ 上进行，再说明 $R\to\infty$ 的合法性； 3. 计算…	数学一数学深水训练 · 反常积分 · 参数法	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-H03-01椭圆边界上的奇点旋涡与多项式场椭圆 $D:\ \frac{x^2}{4}+y^2\le1$ 的边界 $C$ 取逆时针方向。计算 $\oint_C\left(-\frac{y}{x^2+y^2}+x^2y\right)dx +\left(\frac{x}{x^2+y^2}+xy^2\right)dy.$ 要求： 1. 不能直接在含原点的区域上套格林公式；必须用挖孔极限说明奇…	数学一数学深水训练 · 曲线积分 · 格林公式	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-H04-01中心截面切割椭球的体积、质心与二次矩设 $a,b,c>0$ ，区域 $\Omega_+=\left\{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le1,\quad \frac xa+\frac yb+\frac zc\ge0\right\}.$ 密度恒为 $1$ 。求： 1. $\Omega_+$ 的体积； 2. 质心…	数学一数学深水训练 · 三重积分 · 线性换元	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-H05-01双约束下三次对称式的全部极值点在约束 $x+y+z=0,\qquad x^2+y^2+z^2=6$ 下求 $xyz$ 的最大值、最小值以及取得它们的全部点。要求： 1. 先说明全局最大值和最小值一定存在； 2. 使用拉格朗日乘数时必须检查两个约束梯度是否线性无关； 3. 从乘子方程严格推出“至少两个变量相等”，不得仅凭对称性猜测； 4. 给出一个不使用乘子法的代数核验：把…	数学一数学深水训练 · 多元微分 · 条件极值	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-H06-01奇异系数非线性方程的显式解与最大区间求初值问题 $xy'(x)+y(x)=x^3y(x)^{-2},\qquad y(1)=1,$ 并完成以下分析： 1. 用变量代换求出实值显式解，不得把 $y^{-2}$ 当作线性项； 2. 确定包含 $x=1$ 的最大实解区间，说明方程系数奇点和解本身为零分别造成什么障碍； 3. 求解在区间两个端点方向的主阶渐近； 4. 求 $y$ 在最大区间内的…	数学一数学深水训练 · 微分方程 · 变量代换	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-LINEAR-H01-01三对角矩阵逆元、秩一扰动与相容性令 $A_n$ 为 $n$ 阶三对角矩阵 $A_n=\begin{pmatrix} 2&-1&&\\-1&2&\ddots&\\&\ddots&\ddots&-1\\&&-1&2 \end{pmatrix},\qquad n\ge2.$ 只用行列式展开证明 $\det A_n=n+1$ ； 2. 解 $A_nx=e_1$ ，由此求…	数学一数学深水训练 · 线性代数 · 参数矩阵	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-LINEAR-H02-01对称三对角矩阵的惯性指数与奇异方程设 $A(t)=\begin{pmatrix}2&t&0\\ t&2&t\\0&t&2\end{pmatrix},\qquad q_t(x)=x^TA(t)x.$ 不展开三阶特征多项式，利用矩阵的首尾对称性求全部特征值及一组正交特征向量； 2. 随参数 $t\in\mathbb R$ 完整分类 $q_t$ 的正定、半正定、负惯性指数和秩； 3.…	数学一数学深水训练 · 线性代数 · 二次型	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-LINEAR-H03-01矩阵方程在三个共振参数处的分类设 $A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\1&t\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}.$ 讨论矩阵方程 $A(t)X+XA(t)=B$ 的解： 1. 求所有使方程有唯一解、无解或有无穷多解的参数 $t$ ； 2. 在唯一解区间给出 $X$ 的显式表达…	数学一数学深水训练 · 线性代数 · 矩阵方程	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-PROB-H01-01给定极差后的中位次序统计量设 $U_1,U_2,U_3$ 独立同分布于 $U(0,1)$ ，次序统计量为 $U_{(1)}<U_{(2)}<U_{(3)},\qquad R=U_{(3)}-U_{(1)}.$ 从联合密度推导 $R$ 的密度和分布函数； 2. 对固定 $0<r<1$ ，严格解释“给定 $R=r$ ”的条件密度含义； 3. 求…	数学一数学深水训练 · 概率 · 次序统计量	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-PROB-H02-01首次到达者、首达时间与第二次间隔设 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立，且 $X_i\sim\operatorname{Exp}(\lambda_i)$ ， $\lambda_i>0$ 。记 $T_{(1)}=\min_iX_i,\qquad J=\arg\min_iX_i,$ 并记第二小值为 $T_{(2)}$ 。忽略概率为零的并列事件。 1. 求 $(T_{(1)},J)$ 的联合分…	数学一数学深水训练 · 概率 · 指数分布	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-PROB-H03-01区间参数似然、极端值估计与方差比较设 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布于 $U(\theta,\theta+1)$ ， $n\ge2$ ，参数 $\theta\in\mathbb R$ 。记样本最小值和最大值为 $X_{(1)},X_{(n)}$ 。 1. 写出似然函数并证明极大似然估计不唯一，给出全部极大化参数； 2. 研究区间中点估计…	数学一数学深水训练 · 统计 · 参数估计	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-I01-01零加权平均逼出微分方程特征点设 $f\in C^1[0,1]$ ，满足 $f(0)=0,\qquad \int_0^1e^{-x}f(x)\,dx=0.$ 证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f'(\xi)=f(\xi)$ ； 2. 证明中必须区分 $f\equiv0$ 与 $f\not\equiv0$ ，并严格说明零积分为何能在开区间内制造一个新的零点； 3. 若进一…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 积分与共轭	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-MVT-I02-01端点导数和零平均共同逼出二阶零点设 $f\in C^2[0,1]$ ，满足 $f'(0)=0,\qquad f(1)=0,\qquad \int_0^1f(x)\,dx=0.$ 证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f''(\xi)=0$ ； 2. 不得写“由广义罗尔定理显然”，必须引入变上限积分并标出每次普通罗尔定理产生的点及其先后次序； 3. 分别删除…	数学一数学深水训练 · 中值定理 · 变限积分	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-I01-01对数三阶余项积分中的两级消项定义 $I_n=\int_0^{1/n}\left[\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}\right]dx,\qquad n\ge1.$ 不借助数值图像证明 $I_n>0$ ； 2. 求 $\lim_{n\to\infty}n^4I_n$ ； 3. 进一步求…	数学一数学深水训练 · 极限 · 积分余项	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-I02-01含参超越方程正根的精细渐近对每个正整数 $n$ ，令 $x_n$ 为方程 $nx+\ln(1+x)=1$ 的正根。 1. 证明 $x_n$ 存在且唯一，并证明数列 $\{x_n\}$ 严格递减； 2. 求 $\lim n x_n$ ； 3. 不使用计算机代数，证明…	数学一数学深水训练 · 极限 · 隐式数列	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-I03-01双线性分母积分的可去参数奇点对 $a>0$ 定义 $I(a)=\int_0^1\frac{dx}{(1+x)(1+ax)}.$ 求 $a\ne1$ 时的精确闭式； 2. 证明闭式在 $a=1$ 的表面奇点可去，并分别从原积分和闭式极限算出 $I(1)$ ； 3. 求 $I'(1)$ 与 $I''(1)$ ，其中至少一种方法必须从闭式作足够阶数的展开； 4. 证明 $I(a)$ …	数学一数学深水训练 · 定积分 · 参数恢复	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-I04-01Volterra 型积分关系隐藏的双曲函数求所有连续函数 $y:[0,1]\to\mathbb R$ ，使 $y(x)=x+\int_0^x(x-t)y(t)\,dt\qquad(0\le x\le1).$ 先由原式证明任何连续解自动属于 $C^2[0,1]$ ； 2. 把积分关系化成带初值的微分方程并求出 $y$ ； 3. 把所得函数完整代回原积分核验，而不能只说“由微分方程等价”； 4.…	数学一数学深水训练 · 变限积分 · 微分方程	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-I05-01双抛物面夹域的体积、质心与惯性矩均匀立体 $\Omega$ 由两曲面 $z=x^2+y^2,\qquad z=\sqrt{x^2+y^2}$ 围成，密度为 $1$ 。 1. 画出子午面并严格写出柱坐标积分范围； 2. 求 $\Omega$ 的体积； 3. 求质心 $(\bar x,\bar y,\bar z)$ ； 4. 求它关于 $z$ 轴的转动惯量…	数学一数学深水训练 · 三重积分 · 柱坐标	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-I06-01半圆抛物线闭路上的旋涡与面积场闭曲线 $C$ 由两段组成：上半圆 $x^2+y^2=1,y\ge0$ 从 $(1,0)$ 走到 $(-1,0)$ ，以及抛物线弧 $y=x^2-1$ 从 $(-1,0)$ 返回 $(1,0)$ 。计算…	数学一数学深水训练 · 曲线积分 · 挖洞补域	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-I07-01含原点点源的球面通量双重计算设 $S$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=4$ ，取外法向。向量场 $\mathbf F(x,y,z)=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}+(x^3,y^3,z^3).$ 计算通量 $\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$ ，并完成以下要求： 1. 说明为什么不能直接对整个球使用高斯…	数学一数学深水训练 · 曲面积分 · 高斯公式	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-I08-01斜平面圆柱交线上的环流降维曲线 $C$ 是圆柱 $x^2+y^2=1$ 与平面 $x+y+z=1$ 的交线。从 $z$ 轴正向看去， $C$ 取逆时针方向。计算 $\oint_C(-yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz).$ 要求： 1. 证明给定观察方向对应平面截面的向上法向； 2. 使用 Stokes 公式，并说明为何可选平面内区域而不必参数化空间交线； 3. 写出图形…	数学一数学深水训练 · 曲面积分 · Stokes 公式	逐题解析	提高挑战 100
未开始	深水-CALC-I09-01二重分母幂级数的端点与积分和研究幂级数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n(n+1)}.$ 求收敛半径和完整收敛域，并判断两个端点是绝对收敛还是条件收敛； 2. 求 $\|x\|<1$ 时的和函数，结果在 $x=0$ 处必须作连续延拓说明； 3. 分别求 $S(1)$ 与 $S(-1)$ ，并与和函数的单侧极限核验； 4. 计算…	数学一数学深水训练 · 无穷级数 · 和函数	逐题解析	提高挑战 100

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