信号语言与基本运算

第 1 章 信号的描述与分类

1.1 连续时间信号与离散时间信号

本节要解决的问题

信号与系统的第一步是看懂输入对象。题目给的是 $x(t)$ 还是 $x[n]$，决定你用积分还是求和、用傅里叶变换还是 DTFT/Z 变换。

核心概念

• 连续时间信号：自变量连续，记为 $x(t)$。
• 离散时间信号：自变量只取整数，记为 $x[n]$。
• 模拟信号：时间和幅值通常连续。
• 数字信号：时间离散且幅值量化。

公式与含义

连续信号常见能量积分：

$$E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt$$

离散信号常见能量求和：

$$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lvert x[n]\rvert^2$$

这两个公式形式类似，但计算对象不同。连续信号要关注积分区间和函数表达式，离散信号要关注非零序列的位置。

题干识别

• 出现 $x(t)$、$\delta(t)$、$u(t)$、微分方程：通常是连续时间题。
• 出现 $x[n]$、$\delta[n]$、$u[n]$、差分方程：通常是离散时间题。
• 出现采样间隔 $T_s$：可能在连续和离散之间转换。

易错点

• 不要把 $x[n]$ 写成 $x(t)$ 后直接积分。
• 离散时间频率具有 $2\pi$ 周期性，连续时间频率没有这个周期性。
• 采样得到的是序列，不只是“把图像画稀疏”。

1.2 信号的基本运算

核心概念

信号运算包括平移、反转、尺度变换、相加、相乘、微分、积分和差分。卷积与变换题经常先考你是否能正确变换图像。

公式与含义

平移：

$$x(t-t_0)$$

当 $t_0>0$ 时，信号整体向右移动 $t_0$。

时间反转：

$$x(-t)$$

表示以纵轴为镜像翻转。

尺度变换：

$$x(at)$$

当 $\lvert a\rvert>1$ 时，时间轴压缩；当 $0<\lvert a\rvert<1$ 时，时间轴展开。若 $a<0$，还包含反转。

题干识别

• 让画 $x(2-t)$：先把 $2-t=-(t-2)$ 写清楚，等价于对 $x(t)$ 先反转再右移 2。
• 给分段函数再问 $x(3t+1)$：先找新变量满足原信号非零区间。

例题思路

若 $x(t)$ 在 $0<t<2$ 非零，求 $x(2t-1)$ 的非零区间。
令 $0<2t-1<2$，得：

$$\frac{1}{2}<t<\frac{3}{2}$$

所以新信号的非零区间不是简单右移，而是先由不等式决定。

易错点

• $x(t-2)$ 右移，$x(t+2)$ 左移。
• $x(2t)$ 是压缩，不是放大。
• 先平移再反转和先反转再平移通常不同。

1.3 周期信号

核心概念

周期信号满足重复性。连续时间和离散时间的周期判断有明显差别。

连续时间周期条件：

$$x(t+T)=x(t),\quad T>0$$

离散时间周期条件：

$$x[n+N]=x[n],\quad N\in \mathbb{Z}^{+}$$

正弦信号周期

连续时间：

$$x(t)=\cos(\omega_0 t+\varphi),\quad T_0=\frac{2\pi}{|\omega_0|}$$

离散时间：

$$x[n]=\cos(\Omega_0 n+\varphi)$$

只有当

$$\frac{\Omega_0}{2\pi}$$

是有理数时，离散正弦才是周期序列。

题干识别

• 问“是否周期并求基波周期”：优先判断多个频率之间是否成有理比。
• 离散题出现 $\cos(0.2\pi n)$、$\cos(\sqrt{2}n)$：重点判断 $\Omega_0/(2\pi)$ 是否有理。

易错点

• 连续正弦只要 $\omega_0\neq 0$ 就周期；离散正弦不一定。
• 多个周期信号相加不一定周期，要看周期是否有公倍数。

1.4 能量信号与功率信号

核心概念

能量和功率看的是信号在无限时间上的累积性质，不是单看幅值大小。

连续信号能量：

$$E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt$$

连续信号平均功率：

$$P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,dt$$

离散信号能量：

$$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lvert x[n]\rvert^2$$

离散信号平均功率：

$$P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}\lvert x[n]\rvert^2$$

判断原则

• 有限时长且平方可积：通常是能量信号。
• 周期非零信号：通常是功率信号。
• 指数衰减信号：可能是能量信号。
• 指数增长信号：通常能量和功率都发散。

易错点

• 一个信号通常不能同时是非零能量信号和非零功率信号。
• 能量无限不一定说明功率有限。
• 周期信号的平均功率可用一个周期求：

$$P=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2\,dt$$

1.5 奇偶分解

任何信号都可以分解为偶部和奇部：

$$x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}$$ $$x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}$$

且：

$$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$$

题干识别

• 积分区间关于原点对称。
• 函数含有 $x(t)+x(-t)$ 或 $x(t)-x(-t)$。
• 傅里叶级数中要求利用对称性简化。

易错点

• 奇函数在对称区间积分为 0。
• 偶函数乘偶函数仍为偶函数；奇函数乘奇函数为偶函数；奇偶相乘为奇函数。