基本信号与奇异函数

第 2 章 基本信号与奇异函数

2.1 单位阶跃信号

单位阶跃：

$$u(t)= \begin{cases} 0, & t<0\\ 1, & t>0 \end{cases}$$

离散单位阶跃：

$$u[n]= \begin{cases} 0, & n<0\\ 1, & n\ge 0 \end{cases}$$

阶跃函数主要用于表示“从某时刻开始”的信号。

分段函数表示

若信号在 $a<t<b$ 上等于 $f(t)$，可写为：

$$x(t)=f(t)\left[u(t-a)-u(t-b)\right]$$

题干识别

• “开关”“接入”“从 $t=0$ 开始”：想到阶跃。
• 分段函数转换为统一表达式：想到阶跃窗。

2.2 单位冲激信号

单位冲激 $\delta(t)$ 不是普通函数，而是广义函数。核心是面积为 1，且集中在原点。

筛选性质：

$$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-t_0)\,dt=x(t_0)$$

尺度性质：

$$\delta(at)=\frac{1}{\lvert a\rvert}\delta(t)$$

与阶跃关系：

$$\frac{d}{dt}u(t)=\delta(t)$$ $$\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau=u(t)$$

离散冲激

$$\delta[n]= \begin{cases} 1, & n=0\\ 0, & n\neq 0 \end{cases}$$

任意离散序列可表示为：

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]\delta[n-k]$$

题干识别

• 积分中出现 $\delta(t-a)$：直接筛选。
• 卷积中出现冲激：直接平移。
• 微分阶跃：产生冲激。

易错点

• $\delta(t-a)$ 的位置是 $t=a$。
• $\delta(g(t))$ 不能随便当作 $\delta(t)$，简单根情况下：

$$\delta(g(t))=\sum_i\frac{\delta(t-t_i)}{|g'(t_i)|}$$

其中 $g(t_i)=0$。

2.3 指数、正弦、复指数

复指数是傅里叶和系统响应的核心：

$$e^{st}=e^{(\sigma+j\omega)t}=e^{\sigma t}e^{j\omega t}$$

欧拉公式：

$$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t$$

为什么重要

对 LTI 系统，复指数输入会产生同频率复指数输出：

$$x(t)=e^{st}\quad \Rightarrow \quad y(t)=H(s)e^{st}$$

这叫特征函数性质。它解释了为什么频域分析有效。

易错点

• $e^{j\omega t}$ 幅值为 1，不是发散指数。
• $e^{-\alpha t}u(t)$ 的傅里叶变换要求 $\alpha>0$ 才绝对可积。

2.4 矩形脉冲、三角脉冲与 sinc

矩形脉冲常写为：

$$\operatorname{rect}\left(\frac{t}{T}\right)= \begin{cases} 1, & \lvert t\rvert<\frac{T}{2}\\ 0, & \lvert t\rvert>\frac{T}{2} \end{cases}$$

常用 sinc 定义需看教材约定。这里采用：

$$\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}$$

矩形脉冲和 sinc 在傅里叶变换中互为典型变换对。时域越窄，频域越宽。