LTI 系统、响应与卷积

第 4 章 LTI 系统与卷积

4.1 冲激响应

LTI 系统由冲激响应完全决定。连续系统：

$$h(t)=T\{\delta(t)\}$$

离散系统：

$$h[n]=T\{\delta[n]\}$$

系统输出为输入与冲激响应的卷积。

4.2 连续卷积

连续卷积定义：

$$y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau$$

物理解释

输入可分解为无数个冲激：

$$x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau$$

每个冲激激发一个平移后的响应 $h(t-\tau)$，再按权重 $x(\tau)$ 叠加。

图解步骤

1. 固定 $x(\tau)$。
2. 将 $h(\tau)$ 反转成 $h(-\tau)$。
3. 平移为 $h(t-\tau)$。
4. 找重叠区间。
5. 分段积分。

讲卷积时板书要让学生看到“黄色重叠区”随 $t$ 移动而变化。公式里的积分号不是抽象符号，而是在统计当前时刻所有重叠影响的总和。

4.3 离散卷积

离散卷积：

$$y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$$

常见快速结论

冲激平移：

$$x[n]*\delta[n-n_0]=x[n-n_0]$$

阶跃卷积：

$$u[n]*a^n u[n]=\sum_{k=0}^{n}a^{n-k},\quad n\ge 0$$

当 $a\neq 1$：

$$u[n]*a^n u[n]=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n]$$

4.4 卷积性质

交换律：

$$x*h=h*x$$

结合律：

$$x*(h_1*h_2)=(x*h_1)*h_2$$

分配律：

$$x*(h_1+h_2)=x*h_1+x*h_2$$

微分性质：

$$\frac{d}{dt}(x*h)=\frac{dx}{dt}*h=x*\frac{dh}{dt}$$

题干识别

• 两个矩形卷积：结果常是三角形或梯形。
• 阶跃和指数卷积：先确定因果区间，再积分。
• 冲激串卷积：得到多份平移叠加。

易错点

• 卷积积分变量是 $\tau$，最终结果变量是 $t$。
• 不要把卷积误写成普通乘法。
• 分段区间必须来自“重叠区间”的变化点。

33.1 卷积课的讲法

卷积是信号与系统里最容易被背成公式的内容。讲课时先不用公式，先讲一个故事：

“系统对一个很窄很窄的输入脉冲会产生一个标准响应。如果输入不是一个脉冲，而是一整段复杂波形，我们可以把它切成许多小脉冲。每个小脉冲都会激发一个响应，最后所有响应相加。”

连续时间写成：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau$$

这里 $\tau$ 是“过去某个时刻”。$x(\tau)$ 告诉我们过去输入的强度，$h(t-\tau)$ 告诉我们过去那个输入对现在 $t$ 时刻还剩多少影响。卷积就是把所有过去影响加起来。

离散时间写成：

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$$

讲离散卷积时，学生更容易懂“列表相乘求和”。可以让学生画三行：

1. 第一行写 $x[k]$。
2. 第二行写翻转平移后的 $h[n-k]$。
3. 第三行逐项相乘再相加。

课堂检查题：

若 $x[n]={1,2,1}$，$h[n]={1,1}$，让学生算 $y[n]$。答案是：

$$y[n]={1,3,3,1}$$

15. 高频出现的卷积二级结论

15.1 连续时间卷积

逐行证明如下。

第一行，冲激卷积：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau-t_0)h(t-\tau)d\tau =h(t-t_0)$$

所以冲激只负责平移另一个信号。

第二行，阶跃和阶跃卷积：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(\tau)u(t-\tau)d\tau$$

被积函数非零要求：

$$\tau\ge0,\quad t-\tau\ge0$$

也就是 $0\le\tau\le t$。若 $t<0$ 没有满足条件的区间；若 $t\ge0$，区间长度为 $t$。所以：

$$u(t)*u(t)=tu(t)$$

第三、四行，指数卷积证明：

$$y(t)=\int_0^t e^{-a\tau}e^{-b(t-\tau)}d\tau =e^{-bt}\int_0^t e^{-(a-b)\tau}d\tau$$

若 $a\ne b$：

$$y(t)=e^{-bt}\frac{1-e^{-(a-b)t}}{a-b} =\frac{e^{-bt}-e^{-at}}{a-b}$$

若 $a=b$：

$$y(t)=e^{-at}\int_0^t1d\tau=te^{-at}$$

第五行，幂函数因果卷积：

$$y(t)=\int_0^t \frac{\tau^{m-1}}{(m-1)!} \frac{(t-\tau)^{n-1}}{(n-1)!} d\tau$$

令 $\tau=tr$，$d\tau=t\,dr$：

$$y(t)= \frac{t^{m+n-1}}{(m-1)!(n-1)!} \int_0^1r^{m-1}(1-r)^{n-1}dr$$

整数 $m,n$ 下：

$$\int_0^1r^{m-1}(1-r)^{n-1}dr =\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$$

所以：

$$y(t)=\frac{t^{m+n-1}}{(m+n-1)!}u(t)$$

第六行，矩形和矩形卷积：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{rect}\frac{\tau}{T} \operatorname{rect}\frac{t-\tau}{T}d\tau$$

第一个矩形要求：

$$-\frac{T}{2}<\tau<\frac{T}{2}$$

第二个矩形要求：

$$-\frac{T}{2}<t-\tau<\frac{T}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad t-\frac{T}{2}<\tau<t+\frac{T}{2}$$

卷积值就是这两个区间的重叠长度。若 $\lvert t\rvert<T$，重叠长度为 $T-\lvert t\rvert$；若 $\lvert t\rvert\ge T$，重叠长度为 $0$。所以：

$$\operatorname{rect}\frac{t}{T}*\operatorname{rect}\frac{t}{T} =T\left(1-\frac{\lvert t\rvert}{T}\right),\quad \lvert t\rvert<T$$

也就是：

$$\operatorname{rect}\frac{t}{T}*\operatorname{rect}\frac{t}{T} =T\operatorname{tri}\frac{t}{T}$$

15.2 离散时间卷积

逐行证明如下。

第一行，离散冲激卷积：

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[k-n_0]h[n-k] =h[n-n_0]$$

第二行，阶跃和阶跃卷积：

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}u[k]u[n-k]$$

非零条件是：

$$k\ge0,\quad n-k\ge0$$

所以 $0\le k\le n$。若 $n<0$ 没有整数 $k$；若 $n\ge0$，共有 $n+1$ 个整数。因此：

$$u[n]*u[n]=(n+1)u[n]$$

第三、四行，离散指数卷积证明：

$$y[n]=\sum_{k=0}^{n}a^k b^{n-k} =b^n\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{a}{b}\right)^k$$

若 $a\ne b$：

$$y[n]=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$$

若 $a=b$，每一项都是 $a^n$，共有 $n+1$ 项：

$$y[n]=(n+1)a^n$$

第五行，有限长全 1 序列卷积：

设

$$x[n]=1,\ 0\le n\le M-1;\quad h[n]=1,\ 0\le n\le L-1$$

则：

$$y[n]=\sum_k x[k]h[n-k]$$

每一项要非零，必须同时满足：

$$0\le k\le M-1,\quad 0\le n-k\le L-1$$

也就是：

$$\max(0,n-L+1)\le k\le \min(M-1,n)$$

所以卷积值就是这个整数区间里的点数：

$$y[n]= \max\left( 0,\, \min(M-1,n)-\max(0,n-L+1)+1 \right)$$

这就是表中“梯形或三角计数序列”的精确表达式。若 $M=L$，中间平台退化为一个峰值点，图形是三角形；若 $M\ne L$，中间会有平台，图形是梯形。

15.3 有限长矩形卷积的计数法

令

$$x[n]= \begin{cases} 1,&0\le n\le M-1\\ 0,&\text{else} \end{cases} ,\quad h[n]= \begin{cases} 1,&0\le n\le L-1\\ 0,&\text{else} \end{cases}$$

则 $y[n]$ 等于满足

$$0\le k\le M-1,\quad 0\le n-k\le L-1$$

的整数 $k$ 的个数。也就是区间交集长度：

$$y[n]=\#\left([\max(0,n-L+1),\min(M-1,n)]\cap\mathbb Z\right)$$

这比硬套求和更快，适合考场画序列卷积。

17. 典型系统的冲激响应、阶跃响应、频响

17.1 连续一阶低通

系统函数：

$$H(s)=\frac{1}{\tau s+1}$$

冲激响应：

$$h(t)=\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$$

阶跃响应：

$$s(t)=1-e^{-t/\tau}$$

频率响应：

$$H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega\tau}$$ $$\lvert H(j\omega)\rvert=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}$$ $$\angle H(j\omega)=-\arctan(\omega\tau)$$

半功率截止频率：

$$\omega_c=\frac{1}{\tau}$$

17.2 连续一阶高通

系统函数：

$$H(s)=\frac{\tau s}{\tau s+1}$$

分解：

$$H(s)=1-\frac{1}{\tau s+1}$$

冲激响应：

$$h(t)=\delta(t)-\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t)$$

频率响应：

$$H(j\omega)=\frac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}$$ $$\lvert H(j\omega)\rvert=\frac{\omega\tau}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}$$ $$\angle H(j\omega)=\frac{\pi}{2}-\arctan(\omega\tau)$$

17.3 连续二阶标准系统

低通型：

$$H(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$$

极点：

$$s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$$

当 $0<\zeta<1$：

$$s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$$

记

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$$

则自然响应含：

$$e^{-\zeta\omega_nt}\cos\omega_dt,\quad e^{-\zeta\omega_nt}\sin\omega_dt$$

考场判断：

1. $\zeta>1$：过阻尼，两个实极点，无振荡。
2. $\zeta=1$：临界阻尼，重实极点。
3. $0<\zeta<1$：欠阻尼，衰减振荡。
4. $\zeta=0$：无阻尼，持续振荡。

17.4 离散一阶系统

系统函数：

$$H(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}$$

因果冲激响应：

$$h[n]=a^nu[n]$$

稳定条件：

$$\lvert a\rvert<1$$

阶跃响应：

$$s[n]=\sum_{k=0}^{n}a^k =\frac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n],\quad a\ne1$$

频响：

$$H(e^{j\Omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\Omega}}$$

17.5 纯延时、群时延

纯延时：

$$y(t)=x(t-t_0)$$

频响：

$$H(j\omega)=e^{-j\omega t_0}$$

幅度恒为 $1$，相位为 $-\omega t_0$。

群时延：

$$\tau_g(\omega)=-\frac{d}{d\omega}\angle H(j\omega)$$

纯延时的群时延：

$$\tau_g(\omega)=t_0$$

离散纯延时 $M$ 点：

$$H(e^{j\Omega})=e^{-j\Omega M},\quad \tau_g=M$$