傅里叶级数与周期频谱

第 5 章 傅里叶级数

5.1 周期信号的频谱思想

周期信号可以分解为离散频率的复指数之和：

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k e^{jk\omega_0 t}$$

其中：

$$\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$$

系数：

$$C_k=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-jk\omega_0 t}\,dt$$

积分区间可任选一个完整周期。

5.2 三角形式与指数形式

三角形式：

$$x(t)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos k\omega_0 t+b_k\sin k\omega_0 t\right)$$

指数形式与三角形式可互换。实信号满足：

$$C_{-k}=C_k^*$$

对称性

• 偶函数：只含余弦项，$b_k=0$。
• 奇函数：只含正弦项，$a_k=0$。
• 半波对称：部分谐波消失。

5.3 Parseval 定理

周期信号平均功率：

$$P=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|C_k|^2$$

题干识别

• 题目要求平均功率但傅里叶系数已知：用 Parseval。
• 题目要求某无穷级数和：可能反向利用 Parseval。

5.4 LTI 系统对周期信号的响应

若输入：

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k e^{jk\omega_0t}$$

LTI 系统频率响应为 $H(j\omega)$，则输出：

$$y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k H(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$$

意思是系统对每一条谱线分别乘以对应频率响应。

10. 连续傅里叶级数表

周期 $T_0$，基频：

$$\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$$

指数形式：

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{jk\omega_0t}$$ $$C_k=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}\,dt$$

10.1 基本系数结论

10.2 常见周期波形

以下三角形式采用：

$$x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t\right)$$

对称方波

幅度 $\pm A$，奇函数，周期 $T_0$：

$$x(t)=\frac{4A}{\pi}\left(\sin\omega_0t+\frac{1}{3}\sin3\omega_0t+\frac{1}{5}\sin5\omega_0t+\cdots\right)$$

即：

$$b_n= \begin{cases} \frac{4A}{n\pi},& n\ \text{为奇数}\\ 0,& n\ \text{为偶数} \end{cases}$$

证明思路：奇函数只算 $b_n$：

$$b_n=\frac{2}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)\sin n\omega_0t\,dt$$

利用奇偶性化为半区间积分，得到奇次项非零、偶次项为零。

对称三角波

幅度 $\pm A$，偶函数，周期 $T_0$：

$$x(t)=\frac{8A}{\pi^2} \left( \cos\omega_0t+\frac{1}{3^2}\cos3\omega_0t+\frac{1}{5^2}\cos5\omega_0t+\cdots \right)$$

不同教材对三角波零点/峰值位置可能差一个相位；核心结论是：

$$\text{三角波谐波幅度}\propto \frac{1}{n^2}$$

且只含奇次谐波。

锯齿波

奇对称锯齿波，幅度量级 $A$：

$$x(t)=\frac{2A}{\pi}\left( \sin\omega_0t-\frac{1}{2}\sin2\omega_0t+\frac{1}{3}\sin3\omega_0t-\cdots \right)$$

核心结论：

$$\text{锯齿波含所有谐波，幅度}\propto \frac{1}{n}$$

全波整流余弦

$$x(t)=|\cos\omega_0t|$$

周期变为：

$$\frac{\pi}{\omega_0}$$

只含偶次原频率谐波。常用展开：

$$\lvert\cos\theta\rvert =\frac{2}{\pi} +\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1-4n^2}\cos2n\theta$$

半波整流正弦

$$x(\theta)= \begin{cases} \sin\theta,&0<\theta<\pi\\ 0,&\pi<\theta<2\pi \end{cases}$$

常用结论：

$$a_0=\frac{1}{\pi}$$ $$b_1=\frac{1}{2}$$ $$a_{2m}=-\frac{2}{\pi(4m^2-1)},\quad a_{2m-1}=0\ (m\ge1)$$

考场用途：整流题先判断周期是否改变，再看直流分量和谐波结构。

20.8 傅里叶级数常见波形证明

对称方波

令周期为 $T$，基波角频率 $\omega_0=2\pi/T$。对称方波：

$$x(t)= \begin{cases} A,&0<t<T/2\\ -A,&-T/2<t<0 \end{cases}$$

它是奇函数，所以只含正弦项：

$$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\sin n\omega_0t\,dt$$

利用奇函数乘奇函数为偶函数：

$$b_n=\frac{4A}{T}\int_0^{T/2}\sin n\omega_0t\,dt$$

积分：

$$b_n=\frac{4A}{T} \left[-\frac{\cos n\omega_0t}{n\omega_0}\right]_0^{T/2}$$

因为

$$n\omega_0T/2=n\pi$$

所以：

$$b_n=\frac{4A}{T}\frac{1-\cos n\pi}{n\omega_0}$$

又

$$T\omega_0=2\pi$$

得到：

$$b_n=\frac{2A}{n\pi}(1-(-1)^n)$$

当 $n$ 为偶数时为 0；当 $n$ 为奇数时：

$$b_n=\frac{4A}{n\pi}$$

这就是方波只含奇次谐波且幅度按 $1/n$ 衰减。

锯齿波

取奇对称锯齿波：

$$x(t)=\frac{2A}{T}t,\quad -T/2<t<T/2$$

同样只求 $b_n$：

$$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\frac{2A}{T}t\sin n\omega_0t\,dt$$

被积函数为偶函数：

$$b_n=\frac{8A}{T^2}\int_0^{T/2}t\sin n\omega_0t\,dt$$

分部积分：

$$\int t\sin n\omega_0t\,dt =-\frac{t\cos n\omega_0t}{n\omega_0} +\frac{\sin n\omega_0t}{(n\omega_0)^2}$$

代入上下限，正弦项为 0：

$$b_n=\frac{8A}{T^2} \left[-\frac{T}{2}\frac{\cos n\pi}{n\omega_0}\right]$$

整理：

$$b_n=-\frac{2A}{n\pi}(-1)^n =\frac{2A}{n\pi}(-1)^{n+1}$$

因此锯齿波含所有谐波，幅度按 $1/n$ 衰减。

三角波

三角波可以看作方波积分后的波形。若方波的第 $n$ 次谐波幅度按

$$\frac{1}{n}$$

衰减，则积分对应每个谐波再除以

$$n\omega_0$$

所以三角波谐波幅度按

$$\frac{1}{n^2}$$

衰减。又因为对称三角波具有半波对称，只保留奇次谐波。具体形式中的符号

$$(-1)^{(n-1)/2}$$

来自相邻奇次余弦项积分后交替变号。

全波整流余弦

设

$$x(\theta)=\lvert\cos\theta\rvert$$

它是偶函数，所以只含余弦项。又周期从 $2\pi$ 变成 $\pi$，所以只含 $2n\theta$ 项。

系数：

$$a_n=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lvert\cos\theta\rvert\cos n\theta\,d\theta$$

利用偶性和半周期对称，奇数 $n$ 项为 0。对 $n=2m$：

$$a_{2m}=\frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2}\cos\theta\cos2m\theta\,d\theta$$

用积化和差：

$$\cos\theta\cos2m\theta =\frac12[\cos(2m-1)\theta+\cos(2m+1)\theta]$$

积分后得到：

$$a_{2m}=\frac{4}{\pi}\frac{(-1)^m}{1-4m^2}$$

直流项：

$$a_0=\frac{2}{\pi}$$

于是：

$$\lvert\cos\theta\rvert =\frac{2}{\pi} +\frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m}{1-4m^2}\cos2m\theta$$