连续时间傅里叶变换与频率响应

第 6 章 连续时间傅里叶变换

6.1 定义与反变换

傅里叶变换：

$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt$$

反变换：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega$$

傅里叶变换把时间结构转成频率结构。时域适合看起止、波形、因果，频域适合看滤波、带宽、调制和采样。

讲这张图时只抓一句话：时域图告诉你“什么时候发生”，频域图告诉你“由哪些频率组成”。频谱线越高，说明对应频率成分越强。

6.2 常用变换对

冲激：

$$\delta(t)\leftrightarrow 1$$

常数：

$$1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$$

复指数：

$$e^{j\omega_0t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$$

单边指数：

$$e^{-at}u(t)\leftrightarrow \frac{1}{a+j\omega},\quad a>0$$

矩形脉冲：

$$\operatorname{rect}\left(\frac{t}{T}\right)\leftrightarrow T\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega T}{2}\right)$$

6.3 基本性质

线性：

$$ax_1(t)+bx_2(t)\leftrightarrow aX_1(j\omega)+bX_2(j\omega)$$

时移：

$$x(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$$

频移：

$$e^{j\omega_0t}x(t)\leftrightarrow X(j(\omega-\omega_0))$$

尺度变换：

$$x(at)\leftrightarrow \frac{1}{\lvert a\rvert}X\left(j\frac{\omega}{a}\right)$$

卷积：

$$x(t)*h(t)\leftrightarrow X(j\omega)H(j\omega)$$

乘积：

$$x(t)h(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(j\omega)*H(j\omega)$$

微分：

$$\frac{d x(t)}{dt}\leftrightarrow j\omega X(j\omega)$$

积分：

$$\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\leftrightarrow \frac{X(j\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)$$

易错点

• 时移只改变相位，不改变幅度谱。
• 时域压缩，频域展开且幅度乘 $1/\lvert a\rvert$。
• 时域相乘对应频域卷积，要带系数 $1/(2\pi)$。

6.4 频率响应与滤波

对 LTI 系统：

$$Y(j\omega)=X(j\omega)H(j\omega)$$

其中：

$$H(j\omega)=\mathcal{F}\{h(t)\}$$

理想低通滤波器：

$$H(j\omega)= \begin{cases} 1, & \lvert\omega\rvert\le \omega_c\\ 0, & \lvert\omega\rvert>\omega_c \end{cases}$$

题干识别

• “通过某系统后的频谱”：做频域乘法。
• “截止频率”“带宽”：判断频谱被保留还是截去。
• “无失真传输”：幅频为常数、相频为线性。

1. CTFT 约定

连续时间傅里叶变换采用：

$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt$$ $$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}\,d\omega$$

本文约定：

$$\operatorname{sinc}x=\frac{\sin x}{x}$$

矩形窗：

$$\operatorname{rect}\left(\frac{t}{T}\right)= \begin{cases} 1,& \lvert t\rvert<T/2\\ 0,& \lvert t\rvert>T/2 \end{cases}$$

三角脉冲：

$$\Lambda\left(\frac{t}{T}\right)= \begin{cases} 1-\frac{\lvert t\rvert}{T},& \lvert t\rvert<T\\ 0,& \lvert t\rvert>T \end{cases}$$

2. CTFT 常用变换表

3. CTFT 计算证明

3.1 冲激

$$\mathcal F\{\delta(t-t_0)\} =\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)e^{-j\omega t}\,dt =e^{-j\omega t_0}$$

取 $t_0=0$ 得：

$$\delta(t)\leftrightarrow 1$$

3.2 复指数、正弦、余弦

由对偶/广义函数意义：

$$e^{j\omega_0t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$$

欧拉公式：

$$\cos\omega_0t=\frac{1}{2}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})$$

所以：

$$\cos\omega_0t\leftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$$

同理：

$$\sin\omega_0t=\frac{1}{2j}(e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t})$$ $$\sin\omega_0t\leftrightarrow \frac{\pi}{j}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]$$

3.3 单边指数

$$x(t)=e^{-at}u(t),\quad a>0$$ $$X(j\omega)=\int_0^\infty e^{-at}e^{-j\omega t}\,dt =\int_0^\infty e^{-(a+j\omega)t}\,dt$$ $$X(j\omega)= \left[-\frac{1}{a+j\omega}e^{-(a+j\omega)t}\right]_0^\infty =\frac{1}{a+j\omega}$$

3.4 双边衰减指数

$$x(t)=e^{-a\lvert t\rvert},\quad a>0$$

拆成两段：

$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{0}e^{at}e^{-j\omega t}\,dt +\int_0^\infty e^{-at}e^{-j\omega t}\,dt$$

第一段：

$$\int_{-\infty}^{0}e^{(a-j\omega)t}\,dt=\frac{1}{a-j\omega}$$

第二段：

$$\int_0^\infty e^{-(a+j\omega)t}\,dt=\frac{1}{a+j\omega}$$

相加：

$$X(j\omega)=\frac{1}{a-j\omega}+\frac{1}{a+j\omega} =\frac{2a}{a^2+\omega^2}$$

3.5 矩形脉冲

$$X(j\omega)=\int_{-T/2}^{T/2}e^{-j\omega t}\,dt$$ $$=\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right]_{-T/2}^{T/2} =\frac{e^{-j\omega T/2}-e^{j\omega T/2}}{-j\omega}$$ $$=\frac{-2j\sin(\omega T/2)}{-j\omega} =T\frac{\sin(\omega T/2)}{\omega T/2}$$

所以：

$$\operatorname{rect}(t/T)\leftrightarrow T\operatorname{sinc}\frac{\omega T}{2}$$

3.6 sinc 与理想低通

令：

$$X(j\omega)= \begin{cases} 1,&\lvert\omega\rvert<W\\ 0,&\lvert\omega\rvert>W \end{cases}$$

反变换：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-W}^{W}e^{j\omega t}\,d\omega$$ $$=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{e^{j\omega t}}{jt}\right]_{-W}^{W} =\frac{1}{2\pi}\frac{e^{jWt}-e^{-jWt}}{jt}$$ $$=\frac{\sin Wt}{\pi t}$$

所以：

$$\frac{\sin Wt}{\pi t}\leftrightarrow \begin{cases} 1,&\lvert\omega\rvert<W\\ 0,&\lvert\omega\rvert>W \end{cases}$$

3.7 三角脉冲

三角脉冲可看成两个矩形卷积：

$$\Lambda(t/T)=\frac{1}{T}\operatorname{rect}(t/T)*\operatorname{rect}(t/T)$$

由卷积定理：

$$\Lambda(t/T)\leftrightarrow \frac{1}{T}\left[T\operatorname{sinc}\frac{\omega T}{2}\right]^2$$

所以：

$$\Lambda(t/T)\leftrightarrow T\operatorname{sinc}^2\frac{\omega T}{2}$$

3.8 冲激串

$$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$$

它是周期信号，周期 $T$，傅里叶级数系数：

$$C_k=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}p(t)e^{-jk\omega_0t}\,dt=\frac{1}{T}$$

周期信号频谱：

$$P(j\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k\delta(\omega-k\omega_0)$$

因此：

$$\sum_n\delta(t-nT)\leftrightarrow \frac{2\pi}{T}\sum_k\delta(\omega-k\omega_0)$$

4. CTFT 性质与证明

4.1 时移证明

$$\mathcal F\{x(t-t_0)\} =\int x(t-t_0)e^{-j\omega t}\,dt$$

令 $\tau=t-t_0$：

$$=\int x(\tau)e^{-j\omega(\tau+t_0)}\,d\tau =e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$$

4.2 频移证明

$$\mathcal F\{e^{j\omega_0t}x(t)\} =\int x(t)e^{-j(\omega-\omega_0)t}\,dt =X(j(\omega-\omega_0))$$

4.3 尺度证明

$$\mathcal F\{x(at)\}=\int x(at)e^{-j\omega t}\,dt$$

令 $\tau=at$。若 $a>0$：

$$=\frac{1}{a}\int x(\tau)e^{-j(\omega/a)\tau}\,d\tau =\frac{1}{a}X(j\omega/a)$$

若 $a<0$，积分上下限反向，最终统一为：

$$x(at)\leftrightarrow\frac{1}{\lvert a\rvert}X(j\omega/a)$$

4.4 卷积定理证明

$$y(t)=x(t)*h(t)=\int x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau$$ $$Y(j\omega)=\int\int x(\tau)h(t-\tau)e^{-j\omega t}\,d\tau dt$$

令 $u=t-\tau$：

$$\int h(t-\tau)e^{-j\omega t}\,dt =e^{-j\omega\tau}H(j\omega)$$

所以：

$$Y(j\omega)=H(j\omega)\int x(\tau)e^{-j\omega\tau}\,d\tau =X(j\omega)H(j\omega)$$

4.5 微分证明

$$\int x'(t)e^{-j\omega t}\,dt =x(t)e^{-j\omega t}\bigg|_{-\infty}^{\infty} +j\omega\int x(t)e^{-j\omega t}\,dt$$

边界项为 0 时：

$$x'(t)\leftrightarrow j\omega X(j\omega)$$

4.6 乘 $t$ 证明

由：

$$X(j\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}\,dt$$

对 $\omega$ 求导：

$$\frac{dX}{d\omega}=\int x(t)(-jt)e^{-j\omega t}\,dt$$

因此：

$$t x(t)\leftrightarrow j\frac{dX}{d\omega}$$

11. 频谱作图专项

作图顺序：

1. 画原始频谱。
2. 时移：幅度不变，相位加线性项。
3. 尺度：时域压缩，频域展宽，幅度乘 $1/\lvert a\rvert$。
4. 乘 $e^{j\omega_ct}$：整体右移 $\omega_c$。
5. 乘 $\cos\omega_ct$：左右各一份，幅度各半。
6. 采样：以 $\omega_s$ 为间隔复制，幅度乘 $1/T_s$。
7. 过滤波器：只保留 $H(j\omega)\ne0$ 的频段。
8. 判断混叠：看复制谱是否重叠。