DTFT、DFS、DFT 与 FFT

第 7 章 离散时间傅里叶分析

7.1 DTFT

离散时间傅里叶变换：

$$X(e^{j\Omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n}$$

反变换：

$$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\Omega})e^{j\Omega n}\,d\Omega$$

DTFT 的频谱对 $\Omega$ 具有 $2\pi$ 周期：

$$X(e^{j(\Omega+2\pi)})=X(e^{j\Omega})$$

7.2 常用序列变换

单位冲激：

$$\delta[n]\leftrightarrow 1$$

右边指数序列：

$$a^n u[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-ae^{-j\Omega}},\quad \lvert a\rvert<1$$

移位：

$$x[n-n_0]\leftrightarrow e^{-j\Omega n_0}X(e^{j\Omega})$$

卷积：

$$x[n]*h[n]\leftrightarrow X(e^{j\Omega})H(e^{j\Omega})$$

易错点

• DTFT 频率是归一化角频率 $\Omega$，单位是 rad/sample。
• $\Omega$ 与连续角频率 $\omega$ 的关系常为 $\Omega=\omega T_s$。

7.3 离散周期序列的傅里叶级数

周期为 $N$ 的离散序列：

$$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}C_k e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$$

系数：

$$C_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

题干识别

• 序列明确周期为 $N$。
• 要求离散谱线、谐波系数。

14. DFT、DFS、圆周卷积

DFT 适合有限长序列、频谱采样、FFT 和线性卷积的快速计算；DFS 适合离散周期序列。

14.1 DFT 定义

令

$$W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$$

则

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}$$ $$x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}$$

其中 $x[n]$ 和 $X[k]$ 都按 $N$ 周期延拓。

14.2 正交性证明

$$\sum_{n=0}^{N-1}W_N^{(k-m)n} = \begin{cases} N,&k-m=rN\\ 0,&k-m\ne rN \end{cases}$$

当 $k\ne m \pmod N$ 时，这是等比数列：

$$\frac{1-W_N^{(k-m)N}}{1-W_N^{k-m}} =\frac{1-e^{-j2\pi(k-m)}}{1-W_N^{k-m}}=0$$

当 $k=m\pmod N$ 时，每一项都是 $1$，和为 $N$。反变换公式由这个正交性直接得到。

14.3 DFT 常用表

最后一行在 $k=0$ 时取极限，结果为 $M$。

证明有限矩形序列：

$$X[k]=\sum_{n=0}^{M-1}e^{-j2\pi kn/N} =\frac{1-e^{-j2\pi kM/N}}{1-e^{-j2\pi k/N}}$$

分子分母各提取半角相位：

$$X[k]=e^{-j\pi k(M-1)/N} \frac{\sin(\pi kM/N)}{\sin(\pi k/N)}$$

14.4 DFT 性质

14.5 圆周卷积

定义：

$$y[n]=\sum_{m=0}^{N-1}x[m]h[(n-m)_N]$$

则

$$Y[k]=X[k]H[k]$$

证明：

$$Y[k]=\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}x[m]h[(n-m)_N]W_N^{kn}$$

令 $r=(n-m)_N$，即 $n=(r+m)_N$：

$$Y[k]=\sum_m x[m]W_N^{km}\sum_r h[r]W_N^{kr} =X[k]H[k]$$

14.6 用 DFT 做线性卷积

若 $x[n]$ 长度为 $L_x$，$h[n]$ 长度为 $L_h$，线性卷积长度为：

$$L_y=L_x+L_h-1$$

只要选择

$$N\ge L_x+L_h-1$$

把两个序列补零到 $N$ 点，再做 $N$ 点圆周卷积，就等于线性卷积。若 $N$ 太小，尾部会折回，发生时域混叠。

14.7 DFS：离散周期序列

若 $x[n]$ 周期为 $N$：

$$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}a_k e^{j2\pi kn/N}$$ $$a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$$

DFT 与 DFS 的关系：

$$X[k]=Na_k$$

DFT 是一段有限数据的频谱采样；DFS 是周期序列的傅里叶级数系数。形式相似，但物理意义不同。

28.5 DTFT、DFS、DFT 三者关系

这三个名字最容易混，但对象不同。

DTFT 定义：

$$X(e^{j\Omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n}$$

它一定关于 $\Omega$ 以 $2\pi$ 为周期：

$$X(e^{j(\Omega+2\pi)})=X(e^{j\Omega})$$

DFT 可以看作有限长序列 DTFT 在 $N$ 个等间隔频点上的采样：

$$X[k]=X(e^{j\Omega})\bigg|_{\Omega=2\pi k/N}$$

DFS 可以看作离散周期序列在一个周期内的傅里叶级数。若序列周期为 $N$：

$$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}C_k e^{j2\pi kn/N}$$

系数：

$$C_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$$

二级结论：DTFT 看“连续频率曲线”，DFT 看“取了 $N$ 个点”，DFS 看“周期序列的谱线”。

29.7 DFT、FFT 和谱分析的考场参数

用 DFT 分析连续信号频谱时，一定有三个环节：

1. 采样：连续时间变成离散序列。
2. 截断：只取有限长数据。
3. DFT：只在有限个频点上看频谱。

频率间隔：

$$\Delta f=\frac{f_s}{N}$$

频率采样点：

$$f_k=\frac{k f_s}{N}$$

矩形窗截断会导致频谱泄漏。若信号频率不落在 DFT 栅格点上，会出现栅栏效应。

常见改善方法：

1. 加窗：降低旁瓣，但主瓣通常变宽。
2. 补零：让频谱曲线看起来更密，不真正提高物理分辨率。
3. 增加记录长度：真正提高分辨率，因为 $\Delta f=f_s/N$ 变小。

FFT 只是快速计算 DFT 的算法，不改变 DFT 的定义。基 2 FFT 常要求：

$$N=2^m$$

二级结论：谱分析题先算 $\Delta f$，再判断泄漏、栅栏效应和窗函数影响。

继续加深：DFT 谱分析题一般不是考“会不会按定义求和”，而是考你是否知道 DFT 图像为什么和真实频谱不完全一样。

四个参数必须先算：

泄漏、栅栏效应和补零的区别：

1. 泄漏来自截断，相当于时域乘窗、频域卷积。
2. 栅栏效应来自只在有限个频点采样，真实峰值可能落在两个栅格之间。
3. 补零增加 DFT 点数，让频谱曲线显示更密，但原始记录长度不变，所以不真正提高物理分辨率。
4. 增加实际采样时长才会减小 $\Delta f$。

小例题模板：$f_s=1000\text{ Hz}$，采 $N=500$ 点，则 $\Delta f=2\text{ Hz}$。若信号频率为 $123\text{ Hz}$，它不落在 $2\text{ Hz}$ 的整数栅格上，会泄漏；补零到 2000 点后显示间隔变成 $0.5\text{ Hz}$，但原始记录时间仍是 $0.5\text{ s}$，物理分辨率本质仍由原记录决定。