采样、重建与调制

第 8 章 采样与重建

8.1 冲激采样模型

冲激串：

$$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$$

采样信号：

$$x_s(t)=x(t)p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)$$

采样角频率：

$$\omega_s=\frac{2\pi}{T_s}$$

8.2 频域复制

采样后频谱：

$$X_s(j\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(j(\omega-k\omega_s)\right)$$

意思是原频谱以 $\omega_s$ 为间隔周期复制，并乘以 $1/T_s$。

讲采样时一定先画这张图，再写 $\omega_s>2\omega_m$。奈奎斯特条件的本质就是让左右复制谱之间留出空隙，不让高频伪装成低频。

8.3 奈奎斯特采样定理

若 $x(t)$ 带限于 $\lvert\omega\rvert\le \omega_m$，无混叠采样要求：

$$\omega_s>2\omega_m$$

或：

$$f_s>2f_m$$

8.4 混叠

当采样频率不足时，复制频谱重叠，高频分量会伪装成低频分量，重建时无法区分。

题干识别

• 问“能否恢复”：看频谱是否重叠。
• 给多个频率成分：找最高频率并判断采样频率。
• 带通信号：不能盲目用低通信号公式，需要看频带复制是否重叠。

易错点

• 采样定理中的频率单位要一致，Hz 和 rad/s 不能混用。
• 实信号频谱有正负频率，两边都要考虑。

第 9 章 调制与频谱搬移

9.1 乘复指数调制

若：

$$y(t)=x(t)e^{j\omega_c t}$$

则：

$$Y(j\omega)=X(j(\omega-\omega_c))$$

频谱整体右移 $\omega_c$。

9.2 乘余弦调制

若：

$$y(t)=x(t)\cos\omega_c t$$

利用：

$$\cos\omega_c t=\frac{1}{2}\left(e^{j\omega_c t}+e^{-j\omega_c t}\right)$$

得到：

$$Y(j\omega)=\frac{1}{2}X(j(\omega-\omega_c))+\frac{1}{2}X(j(\omega+\omega_c))$$

也就是生成左右两份频谱。

调制题要把“乘余弦”翻译成“频谱搬家”：一份搬到 $+\omega_c$，一份搬到 $-\omega_c$，高度各变成原来的一半。

9.3 解调

调制后再乘同频载波，可把频谱搬回基带，但会同时产生高频项，需要低通滤波。

题干识别

• “频谱搬移”“载波”“调幅”：看乘余弦性质。
• “同步解调”：乘同频余弦后低通。
• “带通信号恢复”：先画频谱位置。

易错点

• 乘余弦会有 $1/2$ 系数。
• 解调后低通滤波器截止频率要覆盖原基带带宽。

6. 采样、调制、滤波

6.1 采样

冲激采样：

$$x_s(t)=x(t)\sum_n\delta(t-nT_s)$$

频域：

$$X_s(j\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_kX(j(\omega-k\omega_s))$$

无混叠：

$$\omega_s>2\omega_m$$

用 Hz 表示：

$$f_s>2f_m$$

考场触发器：看到采样间隔 $T_s$，先求 $\omega_s=2\pi/T_s$，再画频谱复制。

6.2 调制

$$x(t)\cos\omega_ct \leftrightarrow \frac{1}{2}X(j(\omega-\omega_c)) +\frac{1}{2}X(j(\omega+\omega_c))$$

普通调幅：

$$s(t)=[A+x(t)]\cos\omega_ct$$

频域：

$$S(j\omega)= A\pi[\delta(\omega-\omega_c)+\delta(\omega+\omega_c)] +\frac{1}{2}X(j(\omega-\omega_c)) +\frac{1}{2}X(j(\omega+\omega_c))$$

6.3 同步解调

若：

$$s(t)=x(t)\cos\omega_ct$$

再乘同频载波：

$$s(t)\cos\omega_ct=x(t)\cos^2\omega_ct =\frac{1}{2}x(t)+\frac{1}{2}x(t)\cos2\omega_ct$$

低通滤波后：

$$y(t)=\frac{1}{2}x(t)$$

要恢复原幅度，需要再乘 2。

6.4 无失真传输

若：

$$y(t)=Kx(t-t_d)$$

则：

$$H(j\omega)=Ke^{-j\omega t_d}$$

所以无失真条件：

$$\lvert H(j\omega)\rvert=K,\quad \angle H(j\omega)=-\omega t_d$$

考场判断：幅频常数，相频线性。

18. 采样、离散频率与抽取插值

18.1 连续频率与离散频率换算

若

$$x[n]=x_a(nT_s)$$

则

$$\Omega=\omega T_s$$ $$\omega=\frac{\Omega}{T_s}$$

离散频率 $\Omega$ 以 $2\pi$ 为周期，所以模拟频率相差采样角频率

$$\omega_s=\frac{2\pi}{T_s}$$

会映射到同一个离散频率。

18.2 模拟信号采样后的 DTFT

$$X_d(e^{j\Omega}) =\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X_a\left(j\frac{\Omega-2\pi k}{T_s}\right)$$

这就是“模拟频谱先按 $\omega_s$ 周期复制，再用 $\Omega=\omega T_s$ 换轴”。

无混叠条件：

若 $X_a(j\omega)=0,\ \lvert\omega\rvert>\omega_m$，则

$$\omega_s>2\omega_m$$

即

$$f_s>2f_m$$

18.3 理想重建

冲激采样：

$$x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a(nT_s)\delta(t-nT_s)$$

频谱：

$$X_p(j\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_a(j(\omega-k\omega_s))$$

理想低通重建滤波器：

$$H_r(j\omega)= \begin{cases} T_s,&\lvert\omega\rvert<\omega_s/2\\ 0,&\text{else} \end{cases}$$

乘 $T_s$ 是为了抵消采样带来的 $1/T_s$ 幅度因子。

18.4 抽取

抽取 $M$ 倍：

$$y[n]=x[Mn]$$

频域：

$$Y(e^{j\Omega}) =\frac{1}{M}\sum_{r=0}^{M-1} X\left(e^{j(\Omega+2\pi r)/M}\right)$$

考场语言：抽取会压缩频轴并叠加 $M$ 份频谱，抽取前通常需要低通抗混叠滤波。

18.5 插零升采样

升采样 $L$ 倍：

$$y[n]= \begin{cases} x[n/L],&n=0,\pm L,\pm2L,\cdots\\ 0,&\text{else} \end{cases}$$

频域：

$$Y(e^{j\Omega})=X(e^{jL\Omega})$$

考场语言：升采样会产生镜像谱，后面通常接低通抗镜像滤波器。

19. 调制与解调二级结论

19.1 乘余弦

$$y(t)=x(t)\cos\omega_ct$$ $$Y(j\omega)=\frac12 X(j(\omega-\omega_c)) +\frac12 X(j(\omega+\omega_c))$$

计算证明：

$$\cos\omega_ct=\frac12(e^{j\omega_ct}+e^{-j\omega_ct})$$

分别用频移性质即可。

19.2 同步解调

已调信号：

$$s(t)=x(t)\cos\omega_ct$$

接收端乘 $2\cos\omega_ct$：

$$2s(t)\cos\omega_ct =2x(t)\cos^2\omega_ct =x(t)+x(t)\cos2\omega_ct$$

低通滤掉 $2\omega_c$ 附近高频项，得到 $x(t)$。

19.3 普通 AM 包络不失真条件

$$s(t)=A_c[1+k_am(t)]\cos\omega_ct$$

若用包络检波，需要：

$$1+k_am(t)\ge0$$

常写作：

$$\lvert k_am(t)\rvert_{\max}\le1$$

否则过调制，包络翻转，不能直接恢复 $m(t)$。

19.4 乘窗与谱泄漏

截断信号：

$$x_w(t)=x(t)w(t)$$

频域：

$$X_w(j\omega)=\frac{1}{2\pi}X(j\omega)*W(j\omega)$$

若 $w(t)$ 是矩形窗，则 $W(j\omega)$ 是 sinc 形主瓣加旁瓣。截断越短，主瓣越宽，频率分辨率越差；旁瓣导致谱泄漏。