系统函数、框图与状态空间

22. 常见系统框图化简

系统框图题的核心是把“线”翻译成方程，把“方框”翻译成卷积或系统函数。只要写出输入输出关系，化简就不会乱。

22.1 串联系统

若两个 LTI 系统串联：

$$x(t)\to h_1(t)\to h_2(t)\to y(t)$$

则中间量为：

$$v(t)=x(t)*h_1(t)$$

输出为：

$$y(t)=v(t)*h_2(t)=x(t)*h_1(t)*h_2(t)$$

所以等效冲激响应为：

$$h(t)=h_1(t)*h_2(t)$$

变换域中：

$$H(s)=H_1(s)H_2(s)$$

离散系统同理：

$$H(z)=H_1(z)H_2(z)$$

考场二级结论：串联系统可以交换顺序，因为卷积满足交换律。

22.2 并联系统

若同一输入进入两个支路，输出相加：

$$y(t)=x(t)*h_1(t)+x(t)*h_2(t)$$

由卷积分配律：

$$y(t)=x(t)*[h_1(t)+h_2(t)]$$

所以：

$$h(t)=h_1(t)+h_2(t)$$

变换域中：

$$H(s)=H_1(s)+H_2(s)$$

考场二级结论：并联系统的系统函数直接相加。

22.3 负反馈系统

设前向通道为 $G$，反馈通道为 $B$，负反馈结构满足：

$$e=x-By$$

输出为：

$$y=Ge=G(x-By)$$

整理：

$$y+GBy=Gx$$

所以闭环传递函数为：

$$H=\frac{Y}{X}=\frac{G}{1+GB}$$

若是正反馈，则误差信号为：

$$e=x+By$$

同理：

$$H=\frac{G}{1-GB}$$

考场二级结论：负反馈分母加，正反馈分母减。

22.4 求和点移动

若先相加再过系统：

$$y=H(x_1+x_2)$$

由线性性：

$$y=Hx_1+Hx_2$$

所以求和点可以移到系统后面，但每个支路都要经过同一个 $H$。

反过来，若

$$y=Hx_1+x_2$$

要把求和点移到 $H$ 前面，必须把第二支路先乘 $1/H$：

$$y=H\left(x_1+\frac{x_2}{H}\right)$$

考场二级结论：跨过方框移动求和点时，跨过去的支路要补偿一个 $H$ 或 $1/H$。

22.5 引出点移动

若从系统前引出信号，支路信号是 $x$；从系统后引出信号，支路信号是 $Hx$。

所以引出点从系统前移到系统后，要在支路补一个 $1/H$；从系统后移到系统前，要在支路补一个 $H$。

简记：

$$\text{支路实际信号不变}$$

这是所有引出点移动的唯一原则。

22.6 由微分方程求系统函数

连续 LTI 系统满足：

$$\sum_{k=0}^{N}a_k\frac{d^k y(t)}{dt^k} = \sum_{m=0}^{M}b_m\frac{d^m x(t)}{dt^m}$$

零初始条件下取 Laplace 变换：

$$\sum_{k=0}^{N}a_k s^kY(s) = \sum_{m=0}^{M}b_m s^mX(s)$$

所以：

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} =\frac{\sum_{m=0}^{M}b_m s^m}{\sum_{k=0}^{N}a_k s^k}$$

考场二级结论：微分算子直接换成 $s$。

22.7 由差分方程求系统函数

离散 LTI 系统满足：

$$\sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k] = \sum_{m=0}^{M}b_mx[n-m]$$

零初始条件下取 Z 变换：

$$\sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}Y(z) = \sum_{m=0}^{M}b_mz^{-m}X(z)$$

所以：

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{m=0}^{M}b_mz^{-m}} {\sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}}$$

考场二级结论：延时一拍直接换成 $z^{-1}$。

23. 最小相位、全通系统、零极点与群时延

这一节把零极点和相位的常见二级结论补齐。考场上常见问法是“判断是否最小相位”“写出全通因子”“比较群时延”。

23.1 连续一阶全通因子

令 $a>0$，定义：

$$A(s)=\frac{s-a}{s+a}$$

在频率轴上：

$$A(j\omega)=\frac{j\omega-a}{j\omega+a}$$

幅度为：

$$\lvert A(j\omega)\rvert = \frac{\sqrt{\omega^2+a^2}}{\sqrt{\omega^2+a^2}} =1$$

所以它只改相位，不改幅频。

相位可写成：

$$\phi(\omega)=\angle(j\omega-a)-\angle(j\omega+a)$$

忽略常数 $\pi$ 后：

$$\phi(\omega)=-2\arctan\frac{\omega}{a}$$

群时延为：

$$\tau_g(\omega) =-\frac{d\phi}{d\omega} =\frac{2a}{a^2+\omega^2}$$

二级结论：连续一阶全通因子的极点在 $-a$，零点在 $+a$，关于虚轴镜像。

23.2 离散一阶全通因子

令 $\lvert a\rvert<1$，定义：

$$A(z)=\frac{z^{-1}-a}{1-az^{-1}}$$

在单位圆上：

$$A(e^{j\Omega}) =\frac{e^{-j\Omega}-a}{1-ae^{-j\Omega}}$$

因为

$$\lvert e^{-j\Omega}-a\rvert^2 =1-2a\cos\Omega+a^2$$

且

$$\lvert 1-ae^{-j\Omega}\rvert^2 =1-2a\cos\Omega+a^2$$

所以：

$$\lvert A(e^{j\Omega})\rvert=1$$

把分子改写为：

$$e^{-j\Omega}-a =e^{-j\Omega}(1-ae^{j\Omega})$$

于是相位为：

$$\phi(\Omega) =-\Omega-2\angle(1-ae^{-j\Omega})$$

可得群时延：

$$\tau_g(\Omega) =-\frac{d\phi}{d\Omega} = \frac{1-a^2}{1+a^2-2a\cos\Omega}$$

二级结论：离散全通因子的极点和零点关于单位圆互为倒数共轭。

23.3 最小相位系统

连续时间有理系统若因果稳定，则极点必须在左半平面。若还要求逆系统也因果稳定，则 $H^{-1}(s)$ 的极点也必须在左半平面。

但 $H^{-1}(s)$ 的极点正是 $H(s)$ 的零点。因此：

$$\text{连续因果稳定最小相位} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{零点也在左半平面}$$

离散时间同理。因果稳定要求极点在单位圆内；逆系统因果稳定要求原系统零点也在单位圆内。因此：

$$\text{离散因果稳定最小相位} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{零点也在单位圆内}$$

二级结论：最小相位系统不仅稳定，逆系统也稳定。

23.4 同幅度系统的全通分解

若连续系统有一个右半平面零点 $s=a$，$a>0$，可以写出全通因子：

$$\frac{s-a}{s+a}$$

它不改幅度，只改相位。于是把右半平面零点反射到左半平面：

$$s-a = (s+a)\frac{s-a}{s+a}$$

其中 $s+a$ 对应左半平面零点 $s=-a$，后面的分式是全通因子。

所以任意稳定系统可以分解为：

$$H(s)=H_{\min}(s)A(s)$$

其中 $H_{\min}$ 是最小相位部分，$A$ 是全通部分。

离散时间中，若零点 $z_0$ 在单位圆外，则把它反射到：

$$\frac{1}{z_0^*}$$

这一步不改变幅频，只把相位和群时延交给全通因子处理。

23.5 零极点对幅频的快速判断

连续系统在 $s=j\omega$ 上的幅度可以看成距离比：

$$\lvert H(j\omega)\rvert = \lvert K\rvert \frac{\prod_i\lvert j\omega-z_i\rvert} {\prod_k\lvert j\omega-p_k\rvert}$$

离散系统在单位圆上的幅度可以看成：

$$\lvert H(e^{j\Omega})\rvert = \lvert K\rvert \frac{\prod_i\lvert e^{j\Omega}-z_i\rvert} {\prod_k\lvert e^{j\Omega}-p_k\rvert}$$

二级结论：

1. 频率点靠近零点，幅度下降。
2. 频率点靠近极点，幅度上升。
3. 全通系统的零极点成镜像关系，所以距离比恒为常数。
4. 最小相位系统在同一幅频下相位滞后最小，群时延通常也更小。

27.8 状态方程到系统函数

连续时间状态方程：

$$\dot{\mathbf x}(t)=A\mathbf x(t)+B u(t)$$ $$y(t)=C\mathbf x(t)+D u(t)$$

零状态条件下取拉普拉斯变换：

$$s\mathbf X(s)=A\mathbf X(s)+BU(s)$$

移项：

$$(sI-A)\mathbf X(s)=BU(s)$$

所以：

$$\mathbf X(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)$$

代入输出方程：

$$Y(s)=C(sI-A)^{-1}BU(s)+DU(s)$$

系统函数为：

$$H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

离散时间对应公式：

$$\mathbf x[n+1]=A\mathbf x[n]+B u[n]$$ $$y[n]=C\mathbf x[n]+D u[n]$$

零状态 Z 变换：

$$z\mathbf X(z)=A\mathbf X(z)+BU(z)$$

因此：

$$H(z)=C(zI-A)^{-1}B+D$$

二级结论：状态方程题的核心是矩阵逆 $(sI-A)^{-1}$ 或 $(zI-A)^{-1}$；极点来自 $\det(sI-A)=0$ 或 $\det(zI-A)=0$。

29.6 状态变量分析的响应公式

连续状态方程：

$$\dot{\mathbf x}(t)=A\mathbf x(t)+B u(t)$$

状态转移矩阵：

$$\Phi(t)=e^{At}$$

解为：

$$\mathbf x(t)=e^{At}\mathbf x(0) +\int_0^t e^{A(t-\tau)}B u(\tau)\,d\tau$$

输出：

$$y(t)=C\mathbf x(t)+D u(t)$$

离散状态方程：

$$\mathbf x[n+1]=A\mathbf x[n]+B u[n]$$

解为：

$$\mathbf x[n]=A^n\mathbf x[0] +\sum_{k=0}^{n-1}A^{n-1-k}B u[k]$$

系统函数：

$$H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$$ $$H(z)=C(zI-A)^{-1}B+D$$

二级结论：状态响应永远分两块：初始状态带来的零输入响应，输入卷积/求和带来的零状态响应。

继续加深：状态变量题的优势是能同时处理多储能元件和多输入输出。它和微分方程、系统函数不是三套互不相关的工具，而是同一件事的三种表达。

三种表达的互转：

矩阵指数的实用算法：

1. 若 $A$ 是对角矩阵，$e^{At}$ 就是每个对角元分别取指数。
2. 若 $A$ 可对角化，写 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $e^{At}=Pe^{\Lambda t}P^{-1}$。
3. 若只要求系统函数，通常不用真的求 $e^{At}$，直接用 $C(sI-A)^{-1}B+D$。

小例题模板：给

$$\dot{x}_1=x_2,\qquad \dot{x}_2=-2x_1-3x_2+u$$

先写

$$A=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$$

再看题目要什么。若要自然响应，看 $A$ 的特征值；若要传递函数，算 $C(sI-A)^{-1}B+D$；若要全响应，再使用初值项和输入积分项。

29.11 信号流图与 Mason 公式

信号流图适合把系统方程、反馈结构和状态方程连起来。

Mason 公式：

$$T=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta}$$

其中：

1. $P_k$ 是第 $k$ 条前向通路增益。
2. $\Delta$ 是图的特征式。
3. $\Delta_k$ 是去掉与第 $k$ 条前向通路相接触回路后的余因子。

特征式写法：

$$\Delta =1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\sum L_iL_jL_m+\cdots$$

其中乘积项只取互不接触的回路。

考场落笔顺序：

1. 找所有前向通路。
2. 找所有单独回路。
3. 找互不接触回路组。
4. 写 $\Delta$ 和 $\Delta_k$。
5. 代 Mason 公式。

二级结论：反馈系统能用框图化简时先化简；框图太复杂时，再用 Mason 公式系统地数通路和回路。

继续加深：Mason 公式的难点不是公式本身，而是“数图”。要按固定顺序，不要边看边代。

数图规则：

1. 前向通路必须从输入走到输出，且节点不能重复。
2. 回路必须回到起点，且节点不能重复。
3. 两个回路若没有共同节点，才叫互不接触。
4. $\Delta_k$ 要删掉所有与第 $k$ 条前向通路相接触的回路，只保留不接触的回路组合。

小例题模板：若只有一条前向通路 $P_1$，两个回路 $L_1,L_2$，且二者互不接触，同时都接触前向通路，则

$$\Delta=1-(L_1+L_2)+L_1L_2$$

但

$$\Delta_1=1$$

所以

$$T=\frac{P_1}{1-L_1-L_2+L_1L_2}$$

易错点：互不接触回路的乘积项只能出现在 $\Delta$ 或对应的 $\Delta_k$ 中；如果回路之间共享节点，不能相乘。

31.5 状态变量把“响应”和“系统函数”串成一件事

连续时间状态空间模型写成

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),\qquad y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

离散时间对应为

$$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n],\qquad y[n]=Cx[n]+Du[n]$$

你需要形成三个稳定连接：

1. 状态变量通常对应系统内部独立储能信息。
2. 零输入响应看状态自己怎么演化，零状态响应看输入怎样通过系统进入状态。
3. 系统函数可以从状态空间直接推出：

$$H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$$

离散系统则是

$$H(z)=C(zI-A)^{-1}B+D$$

状态转移矩阵也要能认出来：

$$\Phi(t)=e^{At}$$

它描述的是“没有新输入时，状态自己怎么从一个时刻走到另一个时刻”。

例题 4：给定

$$A=\begin{bmatrix} 0&1\\ -2&-3 \end{bmatrix}$$

不求完整响应，先判断系统自然响应形态。

参考入口：

先求特征方程

$$\lambda^2+3\lambda+2=0$$

得特征值 $\lambda_1=-1,\lambda_2=-2$。因此自然响应是两个衰减指数项的线性组合，没有振荡项；若系统对应零输入状态演化，则状态会随时间衰减到零。

31.9 可控性与可观测性：考场只要先会最小判断

这部分在信号与系统里有时是选讲，但一旦题目碰到状态变量，它就会突然很重要。你不一定要把现代控制的全部细节展开，但至少要先会判断“这个状态能不能被输入推动到”和“能不能从输出看出来”。

连续时间状态空间模型仍写成

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),\qquad y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

最小判断法是两个矩阵。

可控性矩阵：

$$\mathcal{C}=\begin{bmatrix} B&AB&A^2B&\cdots&A^{n-1}B \end{bmatrix}$$

若

$$\operatorname{rank}(\mathcal{C})=n$$

则系统可控。

可观测性矩阵：

$$\mathcal{O}=\begin{bmatrix} C\\ CA\\ CA^2\\ \vdots\\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$$

若

$$\operatorname{rank}(\mathcal{O})=n$$

则系统可观。

这两个判据的直觉也要顺手记住：

1. 可控：输入有没有办法把每个独立状态方向都“推到”。
2. 可观：输出有没有办法把每个独立状态方向都“看出来”。

例题 7：设

$$A=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$$

判断系统是否可控。

参考入口：

先写

$$\mathcal{C}=\begin{bmatrix} B&AB \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}$$

其秩为 $2$，等于状态维数，所以系统可控。

31.10 状态空间题再往前走一步：矩阵、系统函数、系统性质要互相能翻

学状态变量最怕三块内容各说各话。现在把它们连成一句完整的话：

1. 知道 $A$，就能先看特征值，判断自然响应模式。
2. 知道 $A,B,C,D$，就能写系统函数 $H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$。
3. 若进一步给了输入输出结构，还能去判断可控性、可观测性。

也就是说，状态空间不是额外多出来的一章，而是把“微分方程”“系统函数”“系统性质”统一到一个矩阵框架里。

例题 8：若题目同时给出 $A,B,C,D$，并问系统极点在哪里，你第一反应是什么？

参考入口：

先看

$$\det(sI-A)=0$$

因为系统函数的极点由矩阵 $A$ 的特征值决定。若已经会写 $H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$，这一步就会非常自然。

31.11 状态转移矩阵别只会背，要会选最省力的算法

连续时间状态方程

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$

里最核心的对象是

$$\Phi(t)=e^{At}$$

它决定了系统在没有新输入时，状态怎样从初始时刻自己演化到后面的时刻。

考场上不要一看到 $e^{At}$ 就慌，先分三档判断：

1. 若 $A$ 是对角矩阵，直接把每个对角元分别取指数。
2. 若 $A$ 可对角化，先写 $A=P\Lambda P^{-1}$，再写

$$e^{At}=Pe^{\Lambda t}P^{-1}$$

3. 若矩阵很小但不方便对角化，再考虑级数展开或借助特征多项式化简。

讲课时最实用的口径不是“矩阵指数很抽象”，而是“矩阵指数只是普通指数在系统矩阵上的推广”。

例题 9：设

$$A=\begin{bmatrix} -1&0\\ 0&-2 \end{bmatrix}$$

求 $\Phi(t)$。

参考入口：

因为 $A$ 已经是对角矩阵，所以直接写

$$\Phi(t)=e^{At}= \begin{bmatrix} e^{-t}&0\\ 0&e^{-2t} \end{bmatrix}$$

这类题不要绕远路。

31.12 用状态空间写零输入响应和零状态响应

前面我们在微分方程和单边变换里已经反复讲过零输入、零状态。现在把它们放回状态空间框架里，这样三套说法就统一了。

连续时间下，总状态响应写成

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)\,d\tau$$

第一项只由初始状态决定，是零输入响应； 第二项只由外加输入决定，是零状态响应。

输出则由

$$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

给出。

所以你要形成一句完整判断：

1. 有初始状态但输入为零，看第一项。
2. 初始状态为零但有输入，看第二项。
3. 两者都不为零，别把全响应误写成某一项。

例题 10：若系统初始状态 $x(0)\neq 0$，而输入 $u(t)\equiv 0$，总状态响应应保留哪一块？

参考入口：

只保留

$$x(t)=e^{At}x(0)$$

因为这时只有零输入响应，没有零状态响应。

31.13 离散状态方程时，连续时间的指数要换成幂次

离散时间下，

$$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$$

最容易和连续时间混着写。这里要直接钉牢：

1. 连续时间用 $e^{At}$。
2. 离散时间用 $A^n$。

离散状态响应写成

$$x[n]=A^{n-n_0}x[n_0]+\sum_{k=n_0}^{n-1}A^{n-1-k}Bu[k]$$

第一项仍然是零输入响应，第二项仍然是零状态响应。

这说明状态变量这套语言在连续和离散里结构完全平行，只是“传播算子”从 $e^{At}$ 换成了 $A^n$。

例题 11：若离散系统满足 $x[n+1]=Ax[n]$，且 $u[n]\equiv 0$，那么从初始时刻 $n=0$ 出发的状态响应怎么写？

参考入口：

直接写

$$x[n]=A^n x[0]$$

不要把连续时间的 $e^{At}$ 混进来。

31.14 再补一题可观测性，避免只会判可控

很多学生刚学完秩判据时，只会机械写可控矩阵，到了可观测性就忘了该从 $C,CA,CA^2$ 往下堆。这里补一道最小题型。

设

$$A=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix}$$

判断系统是否可观。

参考入口：

先写可观测性矩阵

$$\mathcal{O}=\begin{bmatrix} C\\ CA \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$$

其秩为 $2$，等于状态维数，因此系统可观。

课堂提醒：

1. 可控往右堆：$B,AB,A^2B$。
2. 可观往下堆：$C,CA,CA^2$。

把方向感记住，比死背名字更重要。

31.15 状态变量题的考场落笔顺序

最后把这一小串内容压成一个最实用的落笔顺序：

1. 先看题目问的是响应、系统函数、极点，还是可控可观。
2. 若问自然响应或稳定趋势，先看 $A$ 的特征值。
3. 若问系统函数，写 $H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$ 或离散对应式。
4. 若问零输入/零状态，先判断初始状态和输入谁为零。
5. 若问可控可观，分别写 $\mathcal{C}$ 或 $\mathcal{O}$，再看秩。

这样你就不会在状态变量题里一上来就乱算，而是知道第一行到底该写什么。