相关、滤波与考场综合

第 12 章 系统综合题

12.1 综合题常见组合

清华 830 的专业课题可能不是单一公式题，而是把多个模块串起来：

• 先由系统性质判断 LTI、因果、稳定。
• 再由冲激响应写卷积。
• 再转到傅里叶、拉普拉斯或 Z 域。
• 最后根据极点和 ROC 判断系统特性。

12.2 解题总流程

1. 判断时间类型：连续还是离散。
2. 判断系统类型：是否 LTI。
3. 若 LTI，找 $h$、$H$ 或方程。
4. 输入输出关系优先选最短路径：
   • 时域短：用卷积。
   • 频域短：用乘法。
   • 方程短：用系统函数。
5. 最后检查因果、稳定、初值和单位。

12.3 典型例题框架

例 1：由微分方程求频率响应

若：

$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=x(t)$$

零状态拉普拉斯变换：

$$sY(s)+aY(s)=X(s)$$

所以：

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{s+a}$$

若系统因果且 $a>0$，则：

$$h(t)=e^{-at}u(t)$$

频率响应：

$$H(j\omega)=\frac{1}{a+j\omega}$$

例 2：由差分方程判断稳定

若：

$$y[n]-0.5y[n-1]=x[n]$$

系统函数：

$$H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}$$

极点 $z=0.5$。若因果，ROC 为 $\lvert z\rvert>0.5$，包含单位圆，所以稳定。

12.4 最后复盘清单

考前你必须能独立完成：

• 判断连续/离散信号周期。
• 求能量和平均功率。
• 用阶跃和冲激表示分段信号。
• 判断系统线性、时不变、因果、稳定。
• 做矩形、阶跃、指数、冲激卷积。
• 求傅里叶级数系数并画离散谱。
• 熟练使用傅里叶变换性质。
• 解释采样频谱复制和混叠。
• 用调制性质画频谱。
• 根据 $H(s)$、ROC 判断连续系统因果稳定。
• 根据 $H(z)$、ROC 判断离散系统因果稳定。
• 从微分方程和差分方程求系统函数。

24. 典型真题式例题

下面这些例题不是为了刷题量，而是把前面的二级结论串起来。每题都给出“落笔第一步”。

24.1 平移矩形卷积

求：

$$y(t)=\operatorname{rect}\frac{t}{T} * \operatorname{rect}\frac{t-t_0}{T}$$

令：

$$r(t)=\operatorname{rect}\frac{t}{T}$$

已知：

$$r(t)*r(t)=T\operatorname{tri}\frac{t}{T}$$

又因为第二个信号是 $r(t-t_0)$，卷积结果整体平移：

$$r(t)*r(t-t_0)=[r*r](t-t_0)$$

所以：

$$y(t)=T\operatorname{tri}\frac{t-t_0}{T}$$

考场触发器：卷积中某个输入平移，输出跟着同向平移。

24.2 门控载波频谱

求：

$$x(t)=A\operatorname{rect}\frac{t}{T}\cos\omega_ct$$

先写矩形频谱：

$$\operatorname{rect}\frac{t}{T} \leftrightarrow T\operatorname{sinc}\frac{\omega T}{2}$$

乘余弦等于左右搬移各半：

$$x(t)\leftrightarrow \frac{AT}{2} \operatorname{sinc}\frac{(\omega-\omega_c)T}{2} + \frac{AT}{2} \operatorname{sinc}\frac{(\omega+\omega_c)T}{2}$$

考场触发器：看到“窗函数乘载波”，立刻画两个 sinc，中心在 $\pm\omega_c$。

24.3 系统函数和 ROC 反变换

已知：

$$X(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}$$

先部分分式：

$$X(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}$$

若 ROC 为：

$$\operatorname{Re}s>-1$$

两项都取右边信号：

$$x(t)=e^{-t}u(t)-e^{-2t}u(t)$$

若 ROC 为：

$$\operatorname{Re}s<-2$$

两项都取左边信号：

$$x(t)=-e^{-t}u(-t)+e^{-2t}u(-t)$$

若 ROC 为：

$$-2<\operatorname{Re}s<-1$$

第一项取左边，第二项取右边：

$$x(t)=-e^{-t}u(-t)-e^{-2t}u(t)$$

考场触发器：同一个代数式，ROC 不同，时域信号不同。

24.4 采样混叠判断

设 $x(t)$ 带限：

$$X(j\omega)=0,\quad \lvert\omega\rvert>\omega_m$$

以采样周期 $T_s$ 采样：

$$x_s(t)=x(t)\sum_n\delta(t-nT_s)$$

采样角频率：

$$\omega_s=\frac{2\pi}{T_s}$$

采样后频谱：

$$X_s(j\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_kX(j(\omega-k\omega_s))$$

相邻两份频谱中心间隔为 $\omega_s$，每份宽度为 $2\omega_m$。无混叠条件：

$$\omega_s>2\omega_m$$

若题目给 Hz：

$$f_s>2f_m$$

考场触发器：不要只背奈奎斯特，先画复制谱，复制谱不重叠才可理想重建。

24.5 DFT 做线性卷积

若 $x[n]$ 长度为 $L_x$，$h[n]$ 长度为 $L_h$，线性卷积长度为：

$$L_y=L_x+L_h-1$$

用 $N$ 点 DFT 做卷积时，实际得到的是 $N$ 点圆周卷积。要让圆周卷积等于线性卷积，必须补零到：

$$N\ge L_x+L_h-1$$

证明思路：线性卷积的非零结果只占 $0$ 到 $L_y-1$。若 $N<L_y$，圆周卷积会把 $n\ge N$ 的尾部折回前面相加，产生时域混叠；若 $N\ge L_y$，没有尾部折回，所以两者相同。

考场触发器：看到“用 DFT 快速卷积”，第一步先算 $L_x+L_h-1$。

25. 更多真题式例题：调制、响应与初值

这一节继续补考场常见题型。重点不是题目本身，而是每类题的“第一步写什么”。

25.1 DSB-SC 同步解调

已知抑制载波双边带信号：

$$s(t)=x(t)\cos\omega_ct$$

接收端乘本振 $2\cos\omega_ct$：

$$2s(t)\cos\omega_ct =2x(t)\cos^2\omega_ct$$

利用：

$$2\cos^2\omega_ct=1+\cos2\omega_ct$$

得到：

$$2s(t)\cos\omega_ct =x(t)+x(t)\cos2\omega_ct$$

若 $x(t)$ 是低通信号，第二项搬到 $\pm2\omega_c$ 附近，低通滤波后：

$$y(t)=x(t)$$

考场触发器：同步解调本振若写成 $2\cos\omega_ct$，低通后刚好恢复原幅度。

25.2 同步解调有相位误差

若本振有相位误差：

$$2\cos(\omega_ct+\theta)$$

则：

$$2s(t)\cos(\omega_ct+\theta) =2x(t)\cos\omega_ct\cos(\omega_ct+\theta)$$

用积化和差：

$$2\cos A\cos B=\cos(A-B)+\cos(A+B)$$

得到：

$$2s(t)\cos(\omega_ct+\theta) =x(t)\cos\theta +x(t)\cos(2\omega_ct+\theta)$$

低通后：

$$y(t)=x(t)\cos\theta$$

二级结论：相干解调相位误差会造成幅度衰减；当 $\theta=\pi/2$ 时，低通输出为零。

25.3 普通 AM 的包络不失真条件

普通调幅：

$$s(t)=[A+k_am(t)]\cos\omega_ct$$

高频载波的包络为：

$$E(t)=\lvert A+k_am(t)\rvert$$

若希望包络检波后直接得到 $A+k_am(t)$ 的形状，必须保证括号内不变号：

$$A+k_am(t)>0,\quad \forall t$$

等价于：

$$A>k_a\lvert m(t)\rvert_{\max}$$

若定义调幅指数：

$$\mu=\frac{k_a\lvert m(t)\rvert_{\max}}{A}$$

则无过调制条件是：

$$\mu<1$$

二级结论：普通 AM 能用包络检波的前提是“不翻包络”，也就是 $A+k_am(t)$ 始终为正。

25.4 零输入响应与零状态响应

考虑一阶连续系统：

$$y'(t)+ay(t)=x(t),\quad a>0$$

初始条件：

$$y(0^-)=y_0$$

输入：

$$x(t)=u(t)$$

用单边 Laplace：

$$\mathcal L_+\{y'(t)\}=sY(s)-y(0^-)$$

代入微分方程：

$$sY(s)-y_0+aY(s)=\frac{1}{s}$$

所以：

$$Y(s)=\frac{y_0}{s+a}+\frac{1}{s(s+a)}$$

第一项只由初始条件产生，叫零输入响应：

$$y_{zi}(t)=y_0e^{-at}u(t)$$

第二项只由输入产生，叫零状态响应：

$$y_{zs}(t)=\frac{1-e^{-at}}{a}u(t)$$

总响应：

$$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t) =y_0e^{-at}u(t)+\frac{1-e^{-at}}{a}u(t)$$

考场触发器：带初始条件的题，用单边变换；系统函数 $H(s)$ 只描述零状态响应，不包含初始条件。

25.5 用系统函数求零状态响应

还是系统：

$$y'(t)+ay(t)=x(t)$$

零初始条件下：

$$sY(s)+aY(s)=X(s)$$

所以系统函数：

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{s+a}$$

若输入为单位阶跃：

$$X(s)=\frac{1}{s}$$

零状态输出：

$$Y_{zs}(s)=H(s)X(s)=\frac{1}{s(s+a)}$$

部分分式：

$$\frac{1}{s(s+a)} =\frac{1}{a}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+a}\right)$$

所以：

$$y_{zs}(t)=\frac{1-e^{-at}}{a}u(t)$$

二级结论：看到“系统函数 + 输入”，默认求的是零状态响应。

25.6 单边 Z 解一阶差分方程

已知：

$$y[n]-ay[n-1]=x[n]$$

初始条件：

$$y[-1]=y_{-1}$$

输入：

$$x[n]=u[n]$$

单边 Z 变换中：

$$\mathcal Z_+\{y[n-1]\}=z^{-1}Y(z)+y[-1]$$

代入：

$$Y(z)-a[z^{-1}Y(z)+y_{-1}] =\frac{1}{1-z^{-1}}$$

整理：

$$Y(z)(1-az^{-1}) =\frac{1}{1-z^{-1}}+ay_{-1}$$

所以：

$$Y(z)= \frac{1}{(1-z^{-1})(1-az^{-1})} +\frac{ay_{-1}}{1-az^{-1}}$$

第一项是零状态响应，第二项是零输入响应。

当 $a\ne1$：

$$\frac{1}{(1-z^{-1})(1-az^{-1})} \Longleftrightarrow \frac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n]$$

而：

$$\frac{ay_{-1}}{1-az^{-1}} \Longleftrightarrow a^{n+1}y_{-1}u[n]$$

因此：

$$y[n]= \frac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n] +a^{n+1}y_{-1}u[n]$$

考场触发器：单边 Z 的移位会带出初始项，别把它当成双边 Z 的纯 $z^{-1}$。

25.7 单边 Z 初值定理快速验算

单边 Z 定义：

$$Y(z)=\sum_{n=0}^{\infty}y[n]z^{-n}$$

令 $z\to\infty$，则 $z^{-n}\to0$，所有 $n\ge1$ 的项消失：

$$\lim_{z\to\infty}Y(z)=y[0]$$

以上一题结果为例：

$$Y(z)= \frac{1}{(1-z^{-1})(1-az^{-1})} +\frac{ay_{-1}}{1-az^{-1}}$$

取极限：

$$y[0]=1+ay_{-1}$$

也可由差分方程在 $n=0$ 直接验证：

$$y[0]-ay[-1]=x[0]=1$$

所以：

$$y[0]=1+ay_{-1}$$

二级结论：做完单边 Z 题，用初值定理验算 $y[0]$，很容易抓出移位漏项。

25.8 零输入响应的特征根写法

若离散系统齐次方程为：

$$y[n]-a_1y[n-1]-a_2y[n-2]=0$$

设：

$$y[n]=\lambda^n$$

代入：

$$\lambda^n-a_1\lambda^{n-1}-a_2\lambda^{n-2}=0$$

两边除以 $\lambda^{n-2}$：

$$\lambda^2-a_1\lambda-a_2=0$$

这就是特征方程。若两个根为 $\lambda_1,\lambda_2$ 且不相等，则：

$$y_{zi}[n]=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n$$

若重根为 $\lambda$，则：

$$y_{zi}[n]=(C_1+C_2n)\lambda^n$$

常数由初始条件决定。

二级结论：零输入响应只看系统自然模态，也就是特征根；输入只影响零状态响应和总响应中的强迫部分。

29.4 相关函数、能量谱和功率谱

相关不是卷积的替代品，它描述的是两个信号在不同平移下的相似程度。

连续互相关：

$$R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)y^*(t-\tau)\,dt$$

连续自相关：

$$R_{xx}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t-\tau)\,dt$$

离散互相关：

$$R_{xy}[m]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]y^*[n-m]$$

常见性质：

1. $R_{xx}(0)=E_x$，即零延时自相关等于能量。
2. $R_{xx}(\tau)=R_{xx}^*(-\tau)$。
3. 自相关在 $\tau=0$ 处通常取最大值。

能量信号的能量谱密度：

$$E_x(\omega)=|X(j\omega)|^2$$

维纳-辛钦思想：

$$R_{xx}(\tau)\leftrightarrow |X(j\omega)|^2$$

功率信号对应功率谱密度，周期信号的功率谱是离散谱线。

考场二级结论：相关题先写“滑动内积”，谱密度题先看是能量信号还是功率信号，不要把能量谱和功率谱混用。

继续加深：相关和卷积最容易混的地方在“翻转对象”和“物理含义”。

卷积是系统响应：

$$y(t)=\int x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau$$

它的关键词是“输入经过系统”。相关是相似度：

$$R_{xy}(\tau)=\int x(t)y^*(t-\tau)\,dt$$

它的关键词是“平移后有多像”。如果题目出现“检测延时、同步、相似程度、最大相关峰、白噪声中检测已知信号”，优先想到相关和匹配滤波。

能量谱和功率谱的区别：

小例题模板：若 $x(t)$ 是实偶信号，则 $R_{xx}(\tau)$ 也是实偶函数，且 $R_{xx}(0)=E_x$。求自相关时，不要一上来做傅里叶变换；如果波形简单，先用“重叠长度或重叠面积”算滑动内积，通常更快。

29.5 匹配滤波器的最小推导模板

匹配滤波器用于在白噪声背景下最大化某个采样时刻的输出信噪比。若已知待检测信号为 $s(t)$，希望在 $t=T$ 处采样，则匹配滤波器冲激响应为：

$$h(t)=k s^*(T-t)$$

频域形式：

$$H(j\omega)=kS^*(j\omega)e^{-j\omega T}$$

输出：

$$y(t)=s(t)*h(t)$$

在 $t=T$ 处，输出等于信号和自身的相关峰，因此最容易和噪声区分。

考场落笔：

1. 先确定采样时刻 $T$。
2. 写 $h(t)=ks^*(T-t)$。
3. 若题目在频域给 $S(j\omega)$，写 $H(j\omega)=kS^*(j\omega)e^{-j\omega T}$。
4. 检查是否需要归一化增益 $k$。

二级结论：匹配滤波器不是普通低通滤波器，它的核心是“时间反转 + 共轭 + 延时”。

继续加深：匹配滤波器的“匹配”不是匹配频带，而是匹配波形。若输入为

$$r(t)=s(t)+n(t)$$

其中 $n(t)$ 是白噪声，则滤波输出在 $t=T$ 采样：

$$y(T)=\int r(\tau)h(T-\tau)\,d\tau$$

代入 $h(t)=ks^*(T-t)$ 后，信号项变成 $s(t)$ 与自身的内积，输出峰值正比于信号能量。白噪声通过滤波器后的噪声功率与滤波器能量有关，柯西不等式说明当滤波器形状取 $s^*(T-t)$ 时，采样信噪比最大。

考场不要展开完整证明，只要会写三句话：

1. 目标是在 $t=T$ 处最大化输出信噪比。
2. 最优冲激响应是待检测信号的共轭时间反转并延时。
3. 输出峰值等于相关峰，峰值位置给出同步时刻。

易错点：如果信号是实信号，共轭可以省略；如果题目给的是复基带信号，共轭不能省略。

29.8 IIR 数字滤波器设计：两条主路

IIR 数字滤波器常从模拟原型滤波器变换而来。

第一条：脉冲响应不变法。

核心思想：

$$h_d[n]=T h_a(nT)$$

优点：时域冲激响应对应清楚。

缺点：模拟频谱会按采样频率周期复制，可能混叠，所以更适合低通或带限较好的原型。

第二条：双线性变换法。

映射：

$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

优点：左半平面映到单位圆内，不产生频谱混叠。

缺点：频率轴非线性映射，有频率畸变：

$$\Omega=2\arctan\frac{\omega T}{2}$$

预畸变：

$$\omega=\frac{2}{T}\tan\frac{\Omega}{2}$$

二级结论：脉冲响应不变法怕混叠；双线性变换法不混叠但要预畸变。

继续加深：IIR 设计题最重要的是先判断“模拟指标怎么变成数字指标”。若题目给数字角频率 $\Omega_p,\Omega_s$，用双线性变换法时必须先预畸变：

$$\omega_p=\frac{2}{T}\tan\frac{\Omega_p}{2},\qquad \omega_s=\frac{2}{T}\tan\frac{\Omega_s}{2}$$

然后按模拟滤波器设计流程求 $H_a(s)$，最后用

$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

替换得到 $H(z)$。

两种方法对比：

易错点：脉冲响应不变法不是把 $s$ 直接替换成某个 $z$ 表达式；双线性变换法不是线性频率映射，必须记住 $\Omega=2\arctan(\omega T/2)$。

29.9 FIR 数字滤波器设计：线性相位和窗函数

FIR 系统：

$$y[n]=\sum_{k=0}^{N-1}h[k]x[n-k]$$

若冲激响应满足对称：

$$h[n]=h[N-1-n]$$

或反对称：

$$h[n]=-h[N-1-n]$$

则 FIR 可能具有广义线性相位。

窗函数法步骤：

1. 根据理想频响写理想冲激响应 $h_d[n]$。
2. 由于 $h_d[n]$ 无限长，用窗函数截断：

$$h[n]=h_d[n]w[n]$$

3. 根据通带/阻带指标选择窗类型和长度。

常见取舍：

1. 矩形窗主瓣窄、旁瓣高。
2. 汉宁/汉明窗旁瓣低一些，但主瓣更宽。
3. 窗越长，过渡带越窄。

频率采样法则是直接在频域取样，再通过 IDFT 得到 $h[n]$。

二级结论：FIR 设计题先看是否要求线性相位；若要求线性相位，第一反应就是 $h[n]$ 的对称性。

继续加深：FIR 题里的“阶数、长度、对称性、群时延”要统一起来。若 FIR 长度为 $N$，阶数为 $N-1$。线性相位系统的相位通常含有

$$e^{-j\omega (N-1)/2}$$

所以群时延为

$$\tau_g=\frac{N-1}{2}$$

四类线性相位 FIR：

窗函数法的考场句子：

1. 理想频响突变，对应无限长 sinc 型冲激响应。
2. 实际 FIR 必须有限长，所以乘窗截断。
3. 乘窗会带来过渡带和波纹，窗越长过渡带越窄，旁瓣由窗类型决定。

小例题模板：若题目要求线性相位低通且 $N=21$，第一反应是 I 型 FIR，群时延为 $10$ 个采样点。若写出的 $h[n]$ 不满足 $h[n]=h[20-n]$，就说明构造错了。

29.10 多采样率：抽取、插值和有理倍采样

抽取 $M$ 倍：

$$y[n]=x[nM]$$

抽取前必须低通抗混叠。

插值 $L$ 倍先插零：

$$v[n]= \begin{cases} x[n/L],& n \text{ 为 } L \text{ 的整数倍}\\ 0,& \text{其他} \end{cases}$$

插值后必须低通抗镜像。

有理倍采样率变换：

$$\frac{L}{M}$$

标准顺序是：

1. 先插值 $L$ 倍。
2. 低通滤波。
3. 再抽取 $M$ 倍。

中间低通滤波器要同时完成抗镜像和抗混叠。

二级结论：变采样率题不要只改时间下标；必须画频谱，检查镜像和混叠。

继续加深：抽取和插值不是简单的“点变少、点变多”，它们都会改变频谱排列。

抽取 $M$ 倍的频域风险：频谱被压缩后相加，若原信号不先限带，就会混叠。抗混叠低通的截止频率通常按新 Nyquist 频率来定。

插值 $L$ 倍的频域风险：插零后频谱会出现镜像，需要低通滤掉镜像。抗镜像低通保留原基带，去掉周期副本。

有理倍 $L/M$ 的标准结构：

$$x[n]\rightarrow \uparrow L \rightarrow H(e^{j\omega}) \rightarrow \downarrow M \rightarrow y[n]$$

中间滤波器的通带和截止要同时满足两件事：

1. 去掉插值产生的镜像。
2. 保证后续抽取不会混叠。

考场检查：若题目问从 $f_s$ 变到 $f_s\cdot L/M$，不要只写最终采样率；还要说明先升采样到 $Lf_s$，滤波后再降采样到 $Lf_s/M$。

29.12 本章综合题型：从题干到工具的选择

第 29 章的专题跨度大，最后要形成一个工具选择表。看到题干时先抓关键词：

综合题的稳妥流程：

1. 先定域：$t$ 域、$s$ 域、$n$ 域、$z$ 域、频域还是 DFT 栅格。
2. 再定对象：信号、系统、滤波器、状态、谱估计还是采样率变换。
3. 写第一行公式，第一行必须能体现题型。
4. 算完后做条件检查：ROC、稳定性、采样率、窗函数、线性相位、初始条件。
5. 最后用单位和极限情况验算。

31.4 滤波器题先看指标，再决定工具

滤波器最常考的不是“名字会不会背”，而是你能不能把指标翻译成设计动作。

先记四类最常见滤波器：

1. 低通：保留低频，抑制高频。
2. 高通：保留高频，抑制低频。
3. 带通：保留某个频带。
4. 带阻或陷波：压低某个频带。

再记六个常用指标：

1. 通带
2. 阻带
3. 过渡带
4. 截止频率
5. 通带纹波
6. 阻带衰减

若题目从模拟原型变数字滤波器，常见两条路：

1. 脉冲响应不变法：保留模拟冲激响应的采样对应关系，但可能混叠。
2. 双线性变换法：把左半 $s$ 平面映到单位圆内，不发生混叠，但会引入频率非线性压缩，因此要预畸变。

双线性变换最该先写出的式子是

$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

对应的数字频率预畸变关系是

$$\omega=\frac{2}{T}\tan\frac{\Omega}{2}$$

FIR 与 IIR 的课堂判别也要清楚：

1. IIR 阶数通常更省，但稳定性和相位要额外盯紧。
2. FIR 更容易做到线性相位，若题目强调“波形不失真”“群时延固定”，优先联想到线性相位 FIR。

例题 3：数字低通设计题给出通带边缘数字角频率 $\Omega_p$，并说明采用双线性变换法。第一行应写什么？

参考入口：

第一行先写预畸变，而不是直接把 $\Omega_p$ 当作模拟频率：

$$\omega_p=\frac{2}{T}\tan\frac{\Omega_p}{2}$$

因为双线性变换下频率映射不是线性的。

31.7 模拟原型滤波器三兄弟：Butterworth、Chebyshev、Bessel

前面我们已经讲了数字滤波器的两条设计主路，但很多学生一到“先选模拟原型”这一步就空掉。这里把最常见的三个原型补成一句话能分清的程度。

先记总原则：

1. 先看题目更在意幅度平坦、过渡带陡峭，还是相位保真。
2. 原型滤波器的选择，本质上是在“幅频指标”和“相频指标”之间取舍。

三个最常见原型如下。

Butterworth：

1. 通带单调平滑，没有纹波。
2. 过渡带下降速度中等。
3. 适合题目强调“通带尽量平坦”，又没有特别苛刻的过渡带要求。

Chebyshev：

1. 用通带或阻带纹波换更陡的过渡带。
2. 同阶数下，选择性通常比 Butterworth 更强。
3. 适合题目强调“阶数尽量低、过渡带尽量窄”，且允许纹波。

Bessel：

1. 相位更接近线性，群时延更平坦。
2. 波形失真较小。
3. 幅频滚降不如前两者陡。

所以考场可以直接这么判：

1. 要“幅度平坦”，先想 Butterworth。
2. 要“过渡带更陡、可接受纹波”，先想 Chebyshev。
3. 要“波形不失真、相位更稳”，先想 Bessel。

例题 5：若题目强调“脉冲波形尽量不失真传输”，三种模拟原型里该优先考虑哪一个？

参考入口：

优先考虑 Bessel，因为它更接近线性相位，群时延变化更小，时域波形更不容易被拉扯变形。

31.8 数字滤波器设计时，先把指标翻译成动作

很多题其实不是不会设计，而是第一眼没把文字指标翻成操作步骤。这里给一个最小流程。

若题目给的是低通指标，例如通带边缘、阻带边缘、通带最大衰减、阻带最小衰减，则第一步要做四件事：

1. 判定是低通、高通、带通还是带阻。
2. 看是模拟指标还是数字指标。
3. 若是双线性变换法，先做预畸变。
4. 再决定选 Butterworth、Chebyshev 还是其他原型。

一句考场版口诀：

先判类型，再看域，再做预畸变，最后选原型。

例题 6：题目给出数字低通指标 $\Omega_p,\Omega_s$，并要求“通带尽量平坦”。你第一段思路应如何写？

参考入口：

先说明这是数字低通题；若采用双线性变换法，先把 $\Omega_p,\Omega_s$ 预畸变为模拟频率；再因为题目强调“通带尽量平坦”，优先选 Butterworth 原型。