第01讲 矢量分析与场的语言

第01讲 矢量分析与场的语言

本讲只解决什么问题

本讲只建立电磁场的数学语言：梯度、散度、旋度、Laplacian、高斯定理、斯托克斯定理和常用坐标系。后面所有场方程都从这里翻译出来。

梯度

标量场 $\phi(x,y,z)$ 的全微分为

$$d\phi= \frac{\partial\phi}{\partial x}dx+ \frac{\partial\phi}{\partial y}dy+ \frac{\partial\phi}{\partial z}dz$$

把小位移写成

$$d\mathbf l=\mathbf a_xdx+\mathbf a_ydy+\mathbf a_zdz$$

则

$$d\phi=\nabla\phi\cdot d\mathbf l$$

其中

$$\nabla\phi= \mathbf a_x\frac{\partial\phi}{\partial x}+ \mathbf a_y\frac{\partial\phi}{\partial y}+ \mathbf a_z\frac{\partial\phi}{\partial z}$$

梯度方向是标量场增大最快方向。静电场中

$$\mathbf E=-\nabla\phi$$

负号表示电场指向电势下降最快的方向。

散度

散度是单位体积净流出：

$$\nabla\cdot\mathbf A= \lim_{\Delta V\to0} \frac{\oiint_{\partial\Delta V}\mathbf A\cdot d\mathbf S}{\Delta V}$$

直角坐标中

$$\nabla\cdot\mathbf A= \frac{\partial A_x}{\partial x}+ \frac{\partial A_y}{\partial y}+ \frac{\partial A_z}{\partial z}$$

散度为正像源，散度为负像汇，散度为零表示局部无净源汇。

旋度

旋度是单位面积环量：

$$(\nabla\times\mathbf A)\cdot\mathbf n= \lim_{\Delta S\to0} \frac{\oint_{\partial\Delta S}\mathbf A\cdot d\mathbf l}{\Delta S}$$

直角坐标中

$$\nabla\times\mathbf A= \begin{vmatrix} \mathbf a_x&\mathbf a_y&\mathbf a_z\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ A_x&A_y&A_z \end{vmatrix}$$

其中

$$(\nabla\times\mathbf A)_z= \frac{\partial A_y}{\partial x}- \frac{\partial A_x}{\partial y}$$

其余两个分量由循环置换得到。

Laplacian

标量 Laplacian 定义为梯度的散度：

$$\nabla^2\phi=\nabla\cdot(\nabla\phi)$$

直角坐标中

$$\nabla^2\phi= \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}$$

两个积分定理

高斯定理：

$$\iiint_V\nabla\cdot\mathbf A\,dV= \oiint_{\partial V}\mathbf A\cdot d\mathbf S$$

斯托克斯定理：

$$\iint_S(\nabla\times\mathbf A)\cdot d\mathbf S= \oint_{\partial S}\mathbf A\cdot d\mathbf l$$

口诀：散体通，旋面线。

高频恒等式

$$\nabla\times\nabla\phi=0$$ $$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=0$$ $$\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A$$

坐标系选择

平面对称优先直角坐标，轴对称优先柱坐标，球面对称优先球坐标。坐标系不是装饰，它决定边界条件能否被简单写出。

自测题

1. 从小盒子净通量推出散度定义。
2. 从小矩形环量推出 $(\nabla\times\mathbf A)_z$。
3. 说明“散体通，旋面线”分别对应哪两个定理。