第02讲 源、连续性方程、Maxwell 方程总线

第02讲 源、连续性方程、Maxwell 方程总线

本讲只解决什么问题

本讲只讲电磁场的总方程和源的守恒关系。介质细节放到第03讲，边界条件放到第04讲。

电荷、电流和连续性方程

电流密度满足

$$I=\iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf S$$

任意体积内电荷守恒：

$$\frac{d}{dt}\iiint_V\rho\,dV =-\oiint_{\partial V}\mathbf J\cdot d\mathbf S$$

用高斯定理得

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0$$

恒定电流场中

$$\nabla\cdot\mathbf J=0$$

真空 Maxwell 方程

$$\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ $$\nabla\cdot\mathbf B=0$$ $$\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}$$ $$\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$$

四条方程的源意义：

1. 电荷是电场散度源。
2. 不存在磁单极子，所以磁场无散度源。
3. 变化磁场产生有旋电场。
4. 电流和变化电场产生有旋磁场。

位移电流为什么必须出现

若只写

$$\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$$

两边取散度得 $\nabla\cdot\mathbf J=0$，这与时变电荷守恒矛盾。加入位移电流后

$$\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$$

取散度自动给出连续性方程。

Lorentz 力

场作用于带电粒子的规律为

$$\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$$

电荷系统的力密度常写成

$$\mathbf f=\rho\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B$$

Maxwell 方程说明场怎样产生和传播，Lorentz 力说明场怎样作用于物质。

自测题

1. 由电荷守恒积分形式推出连续性方程。
2. 说明位移电流和电荷守恒之间的关系。
3. Maxwell 方程组和 Lorentz 力分别回答什么问题。