第04讲 边界条件与电磁能量

第04讲 边界条件与电磁能量

本讲只解决什么问题

本讲只处理界面跃变和能量守恒。静电、静磁、波反射和波导都只引用这里的边界条件。

四条边界条件

设 $\mathbf n$ 从介质 1 指向介质 2。由薄柱和小回路可得：

$$\mathbf n\cdot(\mathbf D_2-\mathbf D_1)=\sigma_f$$ $$\mathbf n\cdot(\mathbf B_2-\mathbf B_1)=0$$ $$\mathbf n\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=0$$ $$\mathbf n\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=\boldsymbol\alpha_f$$

记忆方式：法向看散度方程，切向看旋度方程。

导体表面常用结论

静电平衡时导体内部

$$\mathbf E=0$$

导体为等势体，电荷分布在表面。理想导体表面切向电场为零：

$$\mathbf n\times\mathbf E=0$$

Poynting 定理

线性介质中电磁能量密度为

$$w=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D+ \frac12\mathbf B\cdot\mathbf H$$

能流密度为

$$\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H$$

能量守恒为

$$\frac{\partial w}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf S =-\mathbf J\cdot\mathbf E$$

时谐场的平均能流为

$$\langle\mathbf S\rangle= \frac12\mathrm{Re}(\mathbf E\times\mathbf H^*)$$

自测题

1. 用薄柱推出 $D_n$ 的跃变关系。
2. 用小回路推出 $H_t$ 的跃变关系。
3. 解释 Poynting 定理三项的物理意义。