第07讲 Green 函数与电多极展开

第07讲 Green 函数与电多极展开

本讲只解决什么问题

本讲只讲两个“把复杂源变简单”的工具：Green 函数处理任意源和边界，电多极展开处理远场近似。

Delta 函数

$$\iiint_V f(\mathbf r)\delta(\mathbf r-\mathbf r')dV=f(\mathbf r')$$

基本恒等式：

$$\nabla^2\frac1{|\mathbf r-\mathbf r'|} =-4\pi\delta(\mathbf r-\mathbf r')$$

Green 函数

按常用约定定义

$$\nabla^2G(\mathbf r,\mathbf r') =-4\pi\delta(\mathbf r-\mathbf r')$$

它表示边界条件相同情况下单位点源产生的响应。

Green 第二恒等式：

$$\iiint_V(\phi\nabla^2G-G\nabla^2\phi)dV = \oiint_S \left( \phi\frac{\partial G}{\partial n} -G\frac{\partial\phi}{\partial n} \right)dS$$

Dirichlet 问题通常选 $G|_S=0$，这样未知的法向导数项消失。

电多极展开

远离局域电荷分布时

$$\phi(\mathbf r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint \frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'$$

可近似为

$$\phi(\mathbf r)\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{r} +\frac{\mathbf p\cdot\mathbf r}{r^3} +\cdots \right]$$

其中

$$q=\iiint\rho\,dV$$ $$\mathbf p=\iiint\rho(\mathbf r')\mathbf r'\,dV'$$

若 $q\ne0$，点电荷项主导；若 $q=0$ 且 $\mathbf p\ne0$，电偶极项主导。

电偶极势：

$$\phi_p= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf p\cdot\mathbf r}{r^3}$$

自测题

1. 写出 Delta 函数筛选性质。
2. Green 函数为什么叫单位点源响应？
3. 判断远场主导项时先看哪个量？