第09讲 静磁场、磁介质、电感与进阶磁现象

第09讲 静磁场、磁介质、电感与进阶磁现象

本讲只解决什么问题

本讲覆盖静磁场全部内容：矢势、磁标势、磁多极、磁介质、电感、磁能，以及教材目录中的 AB 效应和超导。

静磁基本方程

$$\nabla\times\mathbf H=\mathbf J$$ $$\nabla\cdot\mathbf B=0$$

由于 $\nabla\cdot\mathbf B=0$，可令

$$\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$$

在均匀介质中取 Coulomb 规范

$$\nabla\cdot\mathbf A=0$$

得到

$$\nabla^2\mathbf A=-\mu\mathbf J$$

解为

$$\mathbf A(\mathbf r)= \frac{\mu}{4\pi} \iiint \frac{\mathbf J(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'$$

磁标势

无自由电流区域满足

$$\nabla\times\mathbf H=0$$

可引入磁标势：

$$\mathbf H=-\nabla\psi$$

磁标势只适合无电流的单连通区域。绕载流导线一圈的区域不能全局定义单值磁标势。

磁多极矩

局域稳恒电流的磁偶极矩为

$$\mathbf m= \frac12\iiint\mathbf r'\times\mathbf J(\mathbf r')\,dV'$$

小电流环：

$$\mathbf m=I\mathbf S$$

远区矢势：

$$\mathbf A= \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf m\times\mathbf r}{r^3}$$

磁介质、磁边界和磁能

线性介质中

$$\mathbf B=\mu\mathbf H$$

磁场能量密度：

$$w_m=\frac12\mathbf B\cdot\mathbf H$$

总磁能：

$$W_m=\frac12\iiint\mathbf B\cdot\mathbf H\,dV$$

电感定义：

$$\Phi=LI$$

储能：

$$W_m=\frac12LI^2$$

多回路系统可写成电感矩阵：

$$\Phi_i=\sum_jL_{ij}I_j$$

AB 效应

Aharonov-Bohm 效应说明即使电子经过区域中 $\mathbf B=0$，若该区域不可简单收缩且矢势环量非零，电子相位仍会改变。相位差与

$$\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l$$

有关。这说明矢势在量子理论中有可观测意义。

超导体

超导体有零电阻和 Meissner 效应。Meissner 效应表示磁场被排出超导体内部，进入超导体后指数衰减：

$$B(x)=B(0)e^{-x/\lambda_L}$$

$\lambda_L$ 是 London 穿透深度。第二类超导体允许磁通以量子化涡旋形式穿入。

自测题

1. 从 $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$ 推出矢势 Poisson 方程。
2. 磁标势适用条件是什么？
3. AB 效应说明了矢势的什么意义？