第10讲 时谐场、波动方程、平面波和偏振

第10讲 时谐场、波动方程、平面波和偏振

本讲只解决什么问题

本讲只讲无限均匀介质中的电磁波。界面和导体放到第11讲，传输线放到第12讲，波导放到第13讲。

时谐表示

采用约定

$$\mathbf E(\mathbf r,t)= \mathrm{Re}\left[\mathbf E(\mathbf r)e^{-i\omega t}\right]$$

则

$$\frac{\partial}{\partial t}\to -i\omega$$

无源均匀介质中：

$$\nabla\times\mathbf E=i\omega\mathbf B$$ $$\nabla\times\mathbf H=-i\omega\mathbf D$$ $$\nabla\cdot\mathbf D=0,\qquad \nabla\cdot\mathbf B=0$$

波动方程

在均匀介质中可得 Helmholtz 方程：

$$\nabla^2\mathbf E+k^2\mathbf E=0$$ $$\nabla^2\mathbf H+k^2\mathbf H=0$$

其中

$$k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$$

平面波

均匀平面波：

$$\mathbf E=\mathbf E_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}$$

横波关系：

$$\mathbf k\cdot\mathbf E=0,\qquad \mathbf k\cdot\mathbf H=0$$

场量关系：

$$\mathbf H=\frac1\eta\mathbf e_k\times\mathbf E$$

波阻抗：

$$\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}$$

相速度：

$$v_p=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$$

偏振

偏振由电场端点轨迹决定。两正交分量同相或反相为线偏振，等振幅且相位差 $\pi/2$ 为圆偏振，一般情形为椭圆偏振。

自测题

1. 从频域 Maxwell 方程推出 Helmholtz 方程。
2. 写出 $\mathbf E,\mathbf H,\mathbf k$ 的方向关系。
3. 区分相速度和波阻抗的意义。