第13讲 波导、谐振腔和 TE/TM 模式

第13讲 波导、谐振腔和 TE/TM 模式

本讲只解决什么问题

本讲讲有金属边界的三维电磁模式。传输线模型已在第12讲讲过，这里只讲波导和谐振腔。

矩形波导

设波导沿 $z$ 方向：

$$\mathbf E(x,y,z,t)=\mathbf E(x,y)e^{i(\beta z-\omega t)}$$

横向场满足

$$\nabla_t^2u+k_c^2u=0$$

矩形波导中

$$k_c^2= \left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+ \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2$$

传播常数：

$$\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}$$

截止频率：

$$f_c= \frac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}} \sqrt{ \left(\frac{m}{a}\right)^2+ \left(\frac{n}{b}\right)^2 }$$

若 $f<f_c$，模式不能传播。

TE 和 TM

TE 模式：

$$E_z=0,\qquad H_z\ne0$$

TM 模式：

$$H_z=0,\qquad E_z\ne0$$

矩形波导常见最低模式为 $\mathrm{TE}_{10}$。

波导速度

相速度：

$$v_p=\frac{\omega}{\beta}$$

群速度：

$$v_g=\frac{d\omega}{d\beta}$$

波导中常有 $v_p>v$，但信息和能量速度看群速度。

谐振腔

把传播方向也封闭后，三个方向都形成驻波，频率离散。矩形谐振腔频率形式为

$$\omega_{mnp}= \frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}} \sqrt{ \left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+ \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2+ \left(\frac{p\pi}{d}\right)^2 }$$

品质因数 $Q$ 表示储能和损耗的比值。

自测题

1. 写出矩形波导截止频率。
2. 判断 $\mathrm{TE}_{10}$ 模式中哪个纵向场分量为零。
3. 谐振腔为什么频率离散？