第15讲 势、规范、达朗贝尔方程和推迟势

第15讲 势、规范、达朗贝尔方程和推迟势

本讲只解决什么问题

本讲为辐射做准备。静态势已经在第05和第09讲讲过，这里只讲一般时变电磁场的势与规范。

电磁势定义

由

$$\nabla\cdot\mathbf B=0$$

令

$$\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$$

代入 Faraday 方程得

$$\mathbf E=-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t}$$

规范变换

取任意标量函数 $\chi$：

$$\mathbf A'=\mathbf A+\nabla\chi$$ $$\phi'=\phi-\frac{\partial\chi}{\partial t}$$

则 $\mathbf E,\mathbf B$ 不变。势不唯一，场才是直接可测物理量。

Lorenz 规范

$$\nabla\cdot\mathbf A+\mu\varepsilon\frac{\partial\phi}{\partial t}=0$$

得到达朗贝尔方程：

$$\nabla^2\phi-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} =-\frac{\rho}{\varepsilon}$$ $$\nabla^2\mathbf A-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} =-\mu\mathbf J$$

Coulomb 规范

$$\nabla\cdot\mathbf A=0$$

在无源辐射区可突出矢势的横向自由度，常用于量子和辐射讨论。

推迟势

势在观察点由源的过去状态决定：

$$\phi(\mathbf r,t)= \frac{1}{4\pi\varepsilon} \iiint \frac{\rho(\mathbf r',t-R/v)}{R}dV'$$ $$\mathbf A(\mathbf r,t)= \frac{\mu}{4\pi} \iiint \frac{\mathbf J(\mathbf r',t-R/v)}{R}dV'$$

其中

$$R=|\mathbf r-\mathbf r'|, \qquad v=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$$

这体现电磁相互作用以有限速度传播。

Jefimenko 方程

Jefimenko 方程直接用推迟的 $\rho,\mathbf J$ 表示 $\mathbf E,\mathbf B$。它的核心意义是：场由源的过去分布和过去变化率决定。

自测题

1. 从 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ 推出 $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$。
2. 证明规范变换不改变 $\mathbf E$。
3. 推迟势中的 $t-R/v$ 表示什么？