第19讲 830 电磁场高分总控方法库

第19讲 830 电磁场高分总控方法库

本讲只解决什么问题

前 18 讲按知识顺序讲，这一讲按考场顺序讲。目标是让你看到题干后能在 30 秒内判断：这是静电边值、静磁矢势、边界条件、平面波、反射折射、传输线、波导、势与辐射，还是能量动量综合题。

这部分不照搬任何教材或辅导书原文，而是把常见方法压成“题型入口、第一行、检查点、失分坑”。

19.1 高分目标和容错线

830 电磁场要冲高分，不能只会背 Maxwell 方程。高分要求是：

电磁场丢分通常不是“完全不会”，而是四类错误：方向错、边界错、坐标错、物理量混用。复盘时不要写“公式忘了”，要写清楚是哪一类。

19.2 电磁场四层审题法

考场落笔模板：

对象：静电 / 静磁 / 时谐波 / 传输线 / 波导 / 辐射
几何：球 / 柱 / 平面 / 矩形 / 同轴 / 任意边界
第一方程：
边界条件：
方向约定：

19.3 Maxwell 方程总控图

四条 Maxwell 方程不要死背，要知道每条负责什么。

微分形式：

$$\nabla\cdot\mathbf D=\rho_f,\qquad \nabla\cdot\mathbf B=0$$ $$\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\qquad \nabla\times\mathbf H=\mathbf J_f+\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}$$

高分提醒：静态问题中 $\partial_t=0$，但时谐问题中旋度方程会把 $\mathbf E$ 和 $\mathbf H$ 绑定成波。不要在时变题里把静电场当无旋。

19.4 边界条件总控

边界条件是电磁场高分的核心。

设法向 $\mathbf n$ 从介质 1 指向介质 2：

$$\mathbf n\cdot(\mathbf D_2-\mathbf D_1)=\sigma_f$$ $$\mathbf n\cdot(\mathbf B_2-\mathbf B_1)=0$$ $$\mathbf n\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=0$$ $$\mathbf n\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=\mathbf K_f$$

记忆不是目的，要会推：

• 薄柱穿界面推法向条件。
• 小矩形跨界面推切向条件。
• 自由面电荷只进入 $D_n$。
• 自由面电流只进入 $H_t$。

完美导体表面：

常见失分：

• 法向方向没写清，导致正负号错。
• 把自由电荷和束缚电荷混进同一个边界式。
• 把 $\mathbf E_t$ 连续误写成 $\mathbf E_n$ 连续。
• 导体表面外侧电场法向不为零，导体内部才为零。

19.5 静电场题型总表

电势题路线：

1. 先选零势点。
2. 从场到势用线积分。
3. 从势到场用负梯度。
4. 多导体问题先判断每个导体是否等势。

电容题路线：

1. 假设导体带 $\pm Q$ 或电压 $U$。
2. 用 Gauss 或 Laplace 求场。
3. 求电势差。
4. 用 $C=Q/U$。
5. 若是同轴线或平行板，注意是否问单位长度电容。

19.6 静电边值法高分套路

边值问题第一问不是“怎么解”，而是“选什么坐标和基函数”。

镜像法使用条件：

1. 只在求解区域内要求满足方程。
2. 镜像电荷必须放在求解区域外。
3. 构造势满足真实边界条件。
4. 用唯一性定理说明构造解即真实解。

分离变量标准流程：

选坐标 -> 写 Laplace 方程 -> 设乘积解 -> 分离常数 -> 选满足边界的本征函数 -> 用正交性求系数

常见压轴技巧：

• 边界函数是奇偶函数时，先利用对称性删掉一半系数。
• 球坐标轴对称问题只保留 $m=0$ 的 Legendre 多项式。
• 无穷远有限要删掉增长项；原点有限要删掉奇异项。
• 接地边界是 Dirichlet，给法向导数是 Neumann。

19.7 Green 函数和多极展开

Green 函数题不要被形式吓住，它只是在问“单位源的响应”。

$$\nabla^2G(\mathbf r,\mathbf r')=-\frac{1}{\varepsilon}\delta(\mathbf r-\mathbf r')$$

高分理解：

• $G$ 解决单位点源。
• 任意源是单位点源的叠加。
• 边界条件被写进 $G$。

多极展开判断顺序：

1. 总电荷 $q$ 是否为零。
2. 电偶极矩 $\mathbf p=\int \mathbf r'\rho(\mathbf r')dV'$ 是否为零。
3. 若前两者为零，再看四极矩。

远区势的层级：

$$\phi(\mathbf r)\sim \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac{q}{r}+\frac{\mathbf p\cdot\mathbf r}{r^3}+\cdots\right)$$

高分提醒：多极展开的“主导项”由第一个非零矩决定，不是所有项都要算到底。

19.8 恒定电流场和静磁场总控

恒定电流场和静电场形式相似，但物理量不同。

静磁场三种路线：

Ampere 定律：

$$\oint\mathbf H\cdot d\mathbf l=I_f$$

只适用于能找到高对称环路的题。若环路上 $\mathbf H$ 不恒定，硬套会错。

矢势：

$$\mathbf B=\nabla\times\mathbf A,\qquad \nabla\cdot\mathbf A=0$$ $$\nabla^2\mathbf A=-\mu\mathbf J$$

磁标势适用边界：

• 只在无自由电流区域使用。
• 最好是单连通区域。
• 绕载流导线的多连通区域会出现多值问题。

19.9 介质、极化、磁化高分边界

线性各向同性介质：

$$\mathbf D=\varepsilon\mathbf E,\qquad \mathbf B=\mu\mathbf H$$

若题目给分层介质，先判断场是法向还是切向：

• 平行板介质分层，若层沿电场方向串联，用 $D_n$ 连续。
• 若层并联承受同一电压，用 $E_t$ 连续。

这是介质题最常见的提速点。

19.10 时谐场和平面波总控

相量约定必须统一。若采用 $e^{-i\omega t}$，前文使用：

$$\nabla\times\mathbf E=i\omega\mathbf B$$ $$\nabla\times\mathbf H=\mathbf J-i\omega\mathbf D$$

若教材或题目使用 $e^{i\omega t}$，符号会相反。考场上先看题目约定。

均匀无源介质中：

$$\nabla^2\mathbf E+k^2\mathbf E=0$$ $$k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon},\qquad \eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}$$

平面波三矢量关系：

$$\mathbf k\cdot\mathbf E=0,\qquad \mathbf k\cdot\mathbf H=0$$ $$\mathbf H=\frac{1}{\eta}\hat{\mathbf k}\times\mathbf E$$ $$\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H$$

偏振判断：

高分提醒：判断左旋右旋要先明确观察方向，不能只看相位差。

19.11 反射折射和导体中传播

界面题第一步永远是相位匹配：

$$k_i\sin\theta_i=k_r\sin\theta_r=k_t\sin\theta_t$$

得到：

$$\theta_i=\theta_r,\qquad n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t$$

Fresnel 系数题要先区分极化：

常见特殊点：

• Brewster 角只对 TM 极化常见。
• 全反射要求从光密介质到光疏介质，且入射角超过临界角。
• 全反射时第二介质中有倏逝波，但法向平均功率不向深处传播。

良导体：

$$\gamma=\alpha+i\beta\approx(1+i)\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}$$

趋肤深度：

$$\delta=\frac{1}{\alpha}\approx\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}$$

表面阻抗：

$$Z_s\approx(1+i)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}$$

检查：频率越高、电导率越大、磁导率越大，趋肤深度越小。

19.12 传输线高分套路

传输线题先确定参考方向和负载端位置。

基本方程：

$$\frac{\partial V}{\partial z}=-(R+i\omega L)I$$ $$\frac{\partial I}{\partial z}=-(G+i\omega C)V$$

传播常数和特性阻抗：

$$\gamma=\sqrt{(R+i\omega L)(G+i\omega C)}$$ $$Z_0=\sqrt{\frac{R+i\omega L}{G+i\omega C}}$$

负载反射系数：

$$\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$$

无耗线输入阻抗：

$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+iZ_0\tan\beta l}{Z_0+iZ_L\tan\beta l}$$

特殊线段：

Smith 圆图不要求花哨，核心三句话：

1. 归一化阻抗 $z=Z/Z_0$。
2. 沿线移动就是绕圆旋转。
3. 匹配就是把点移动到圆心 $z=1$。

19.13 波导和谐振腔高分套路

波导题第一步：判断 TE、TM、TEM。

矩形波导截止波数：

$$k_c^2=\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{n\pi}{b}\right)^2$$

传播常数：

$$\beta=\sqrt{k^2-k_c^2}$$

截止频率：

$$f_c=\frac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2}$$

高分判断：

• $f<f_c$：不传播，沿轴衰减。
• $f>f_c$：传播。
• 矩形波导主模通常是 $\mathrm{TE}_{10}$。
• TE/TM 模式相速度可大于介质光速，但群速度和能量传播不违反因果。

谐振腔：

• 三个方向都有边界，波数离散。
• 谐振频率由几何尺寸和模式数决定。
• 损耗题看品质因数 $Q$，本质是储能与每周期损耗之比。

19.14 势、规范、推迟势高分套路

势函数题最容易被符号淹没。先写两条定义：

$$\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$$ $$\mathbf E=-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t}$$

规范变换：

$$\mathbf A'=\mathbf A+\nabla\chi,\qquad \phi'=\phi-\frac{\partial\chi}{\partial t}$$

场不变：

$$\mathbf B'=\mathbf B,\qquad \mathbf E'=\mathbf E$$

Coulomb 规范：

$$\nabla\cdot\mathbf A=0$$

Lorenz 规范：

$$\nabla\cdot\mathbf A+\mu\varepsilon\frac{\partial\phi}{\partial t}=0$$

推迟势：

$$\phi(\mathbf r,t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int \frac{\rho(\mathbf r',t-R/v)}{R}\,dV'$$ $$\mathbf A(\mathbf r,t)=\frac{\mu}{4\pi}\int \frac{\mathbf J(\mathbf r',t-R/v)}{R}\,dV'$$

高分语言：观察点现在的场由源在过去的状态决定，推迟时间为 $R/v$。这不是数学装饰，而是因果性。

19.15 辐射高分套路

辐射题先分近区、感应区、远区。

电偶极远区方向图：

$$\frac{dP}{d\Omega}\propto \sin^2\theta$$

结论：

• 沿偶极轴方向为零。
• 垂直偶极轴方向最大。
• 总辐射功率与频率高次幂相关，频率越高辐射越强。

磁偶极、电四极：

• 若电偶极矩为零，才需要看更高阶辐射。
• 多极辐射按低阶非零矩主导。
• 不要在题目只要求定性时展开全套远场公式。

天线阵：

$$\text{总方向图}=\text{单元方向图}\times\text{阵因子}$$

改变阵元相位可以扫描主瓣方向。阵列题通常先写相位差，再求阵因子最大值方向。

19.16 能量、动量和力

场能密度：

$$w=\frac12(\mathbf E\cdot\mathbf D+\mathbf B\cdot\mathbf H)$$

Poynting 矢量：

$$\mathbf S=\mathbf E\times\mathbf H$$

能量守恒：

$$\frac{\partial w}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf S=-\mathbf J\cdot\mathbf E$$

动量密度：

$$\mathbf g=\frac{\mathbf S}{c^2}$$

辐射压力：

高分提醒：能流方向用 $\mathbf E\times\mathbf H$，不是看波矢符号猜。反射题中总场可能形成驻波，平均能流要分清入射、反射和净流。

19.17 高频综合题模板

模板 A：静电边值综合

题干：导体、接地、点电荷、边界电势
第一步：判断镜像 / 分离变量 / Green 函数
第二步：写 Poisson 或 Laplace 方程
第三步：写边界条件
第四步：求势，再由 E=-grad phi 求场
第五步：若问电荷，用 D_n 跳变求面电荷

模板 B：介质分层综合

题干：多介质、电容、电场、电位移
第一步：判断场相对界面是法向还是切向
法向：D_n 连续，无自由面电荷
切向：E_t 连续
第二步：用 D=εE 或 J=σE
第三步：串并联类比求等效参数

模板 C：磁场与矢势综合

题干：电流分布、磁场、磁通、电感
第一步：有对称性用 Ampere，无对称性用 Biot-Savart 或 A
第二步：求 B 或 H
第三步：磁能 W=1/2∫B·H dV
第四步：用 W=1/2LI² 求电感

模板 D：平面波界面综合

题干：入射波、界面、反射折射
第一步：写入射面和极化类型
第二步：相位匹配，得反射折射方向
第三步：用边界条件求振幅系数
第四步：用 Poynting 矢量算功率反射透射

模板 E：传输线匹配综合

题干：Z0、ZL、线长、驻波、匹配
第一步：算 ΓL
第二步：判断沿线移动方向
第三步：用 Zin 公式或 Smith 圆图
第四步：匹配时让 Zin=Z0 或 Γ=0

模板 F：波导模式综合

题干：矩形波导、TE/TM、截止频率
第一步：写 kc²=(mπ/a)²+(nπ/b)²
第二步：写 β=sqrt(k²-kc²)
第三步：判断 f 是否大于 fc
第四步：按 TE/TM 写纵向场和横向场关系

模板 G：势与辐射综合

题干：时变源、推迟势、偶极辐射
第一步：写 A 和 φ 的定义或推迟势
第二步：判断远区 kr>>1
第三步：保留 1/r 辐射项
第四步：用 sin²θ 判断方向图和功率分布

19.18 公式边界和失分坑总表

19.19 30 秒第一行快练

19.20 错题归因表

19.21 最后压缩成七句话

1. 静电看 $\rho\to\phi\to\mathbf E$，导体边界看等势。
2. 边界条件先定法向，$D_n$ 和 $H_t$ 负责自由源跳变。
3. 静磁有对称用 Ampere，无对称用 Biot-Savart 或矢势。
4. 平面波先写 $\mathbf E,\mathbf H,\mathbf k$ 右手关系，再算能流。
5. 界面题先相位匹配，再用边界条件。
6. 传输线看反射系数和输入阻抗，波导看截止和模式。
7. 辐射题只在远区用 $1/r$ 场算功率，方向图先看最低非零多极矩。