系统性质与判定

第 3 章 系统性质

3.1 系统、输入输出与算子

系统把输入变成输出：

$$y(t)=T\{x(t)\}$$

或：

$$y[n]=T\{x[n]\}$$

系统性质判断必须严格按定义，不能靠图像直觉。

3.2 线性

系统线性要求同时满足齐次性和叠加性：

$$T\{a x_1+b x_2\}=aT\{x_1\}+bT\{x_2\}$$

题干识别

• 系统表达式含 $x^2(t)$、$|x(t)|$、常数项：通常非线性。
• 含积分、微分、平移、常系数加权：可能线性。

例题判断

$y(t)=x(t)+2$ 是否线性？
令 $x(t)=0$，输出 $y(t)=2$，零输入不产生零输出，所以非线性。

3.3 时不变

时不变要求输入延迟多少，输出只延迟多少：

$$T\{x(t-t_0)\}=y(t-t_0)$$

题干识别

• 系统表达式显含 $t$，如 $y(t)=t x(t)$：通常时变。
• 系统只对输入做固定平移、积分、卷积：可能时不变。

例题判断

$y(t)=x(2t)$ 是否时不变？
原输出延迟为 $y(t-t_0)=x(2t-2t_0)$。
输入延迟后经系统为 $x(2t-t_0)$。
二者一般不等，所以时变。

3.4 因果性

因果系统的输出不能依赖未来输入：

$$y(t_0)\ \text{只能由}\ x(t),\ t\le t_0\ \text{决定}$$

题干识别

• $x(t+1)$：用未来输入，非因果。
• $\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau$：只用过去和现在，因果。
• $\int_{t}^{\infty}x(\tau)d\tau$：用未来，非因果。

3.5 BIBO 稳定

BIBO 稳定定义：有界输入产生有界输出。

对连续 LTI 系统：

$$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|\,dt<\infty$$

对离散 LTI 系统：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty$$

易错点

• 稳定不是输出趋于 0。
• 对 LTI 系统可以看冲激响应绝对可积或绝对可和。
• 对非 LTI 系统不能直接套 $h(t)$ 条件。

28.1 系统性质判定的反例模板

判断系统性质时，优先用定义和反例，不要凭感觉。

LTI 系统还有两个直接判据：

连续时间：

$$\text{因果}\iff h(t)=0,\ t<0$$ $$\text{稳定}\iff \int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|\,dt<\infty$$

离散时间：

$$\text{因果}\iff h[n]=0,\ n<0$$ $$\text{稳定}\iff \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty$$

考场写法：若题目给系统表达式，先按定义测；若题目明确 LTI 且给 $h$，再用冲激响应判据。