Z 变换、ROC 与离散系统 | 信号与系统复习

第 11 章 Z 变换

11.1 定义与 ROC

双边 Z 变换：

X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}

ROC 是 $z$ 平面上的环形区域。它不包含极点。

Z 平面、单位圆与零极点：稳定性和 DTFT 的图像入口

讲 Z 变换时固定让学生画单位圆。单位圆上看 DTFT；系统稳定要求 ROC 包含单位圆；因果系统的 ROC 在最外极点之外。

11.2 常见变换

右边序列：

a^n u[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}},\quad \lvert z\rvert>\lvert a\rvert

左边序列：

-a^n u[-n-1]\leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}},\quad \lvert z\rvert<\lvert a\rvert

单位冲激：

\delta[n]\leftrightarrow 1

11.3 Z 变换性质

时移：

x[n-n_0]\leftrightarrow z^{-n_0}X(z)

卷积：

x[n]*h[n]\leftrightarrow X(z)H(z)

乘 $a^n$ ：

a^n x[n]\leftrightarrow X\left(\frac{z}{a}\right)

11.4 差分方程与系统函数

差分方程：

\sum_{k=0}^{N}a_k y[n-k]=\sum_{m=0}^{M}b_m x[n-m]

零状态系统函数：

H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}= \frac{\sum_{m=0}^{M}b_m z^{-m}}{\sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}}

11.5 因果稳定判断

因果系统：ROC 在最外极点之外。
稳定系统：ROC 包含单位圆 $\lvert z\rvert=1$ 。
因果且稳定：所有极点在单位圆内。

易错点

离散系统稳定看单位圆，不是虚轴。
因果系统的冲激响应是右边序列。
频率响应存在要求单位圆在 ROC 内：

H(e^{j\Omega})=H(z)\big|_{z=e^{j\Omega}}

8. Z 变换、DTFT 与 ROC

双边 Z 变换：

X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}

$x[n]$	$X(z)$	ROC
$\delta[n]$	$1$	全平面
$\delta[n-n_0]$	$z^{-n_0}$	除可能 $0,\infty$
$u[n]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\lvert z\rvert>1$
$-u[-n-1]$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\lvert z\rvert<1$
$a^nu[n]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$
$-a^nu[-n-1]$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$\lvert z\rvert<\lvert a\rvert$
$na^nu[n]$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$
$(n+1)a^nu[n]$	$\frac{1}{(1-az^{-1})^2}$	$\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$

8.1 几何级数证明

X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a^nz^{-n} =\sum_{n=0}^{\infty}(az^{-1})^n

收敛要求：

\lvert az^{-1}\rvert<1\Rightarrow \lvert z\rvert>\lvert a\rvert

所以：

a^nu[n]\leftrightarrow \frac{1}{1-az^{-1}}

8.2 Z 变换性质

时域	Z 域
$x[n-n_0]$	$z^{-n_0}X(z)$
$a^nx[n]$	$X(z/a)$
$x[n]*h[n]$	$X(z)H(z)$
$nx[n]$	$-z\frac{dX(z)}{dz}$

8.3 Z 反变换套路

单极点：

\frac{A}{1-az^{-1}}\rightarrow \begin{cases} Aa^nu[n],& \lvert z\rvert>\lvert a\rvert\\ -Aa^nu[-n-1],& \lvert z\rvert<\lvert a\rvert \end{cases}

重极点：

\frac{1}{(1-az^{-1})^2}\leftrightarrow (n+1)a^nu[n]

共轭极点：

z=re^{\pm j\Omega_0}

自然响应形如：

r^n\cos(\Omega_0n+\varphi)u[n]

8.4 因果稳定判断

有理 $H(z)$ ：

因果：ROC 在最外极点外。
反因果：ROC 在最内极点内。
双边：ROC 在两个极点圆之间。
稳定：ROC 包含单位圆。
因果且稳定：全部极点在单位圆内。

8.5 DTFT 常用表

X(e^{j\Omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n}

$x[n]$	$X(e^{j\Omega})$
$\delta[n]$	$1$
$\delta[n-n_0]$	$e^{-j\Omega n_0}$
$a^nu[n], \lvert a\rvert<1$	$\frac{1}{1-ae^{-j\Omega}}$
$1,\ 0\le n\le N-1$	$e^{-j\Omega(N-1)/2}\frac{\sin(N\Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}$
$1,\ \lvert n\rvert\le M$	$\frac{\sin((2M+1)\Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}$
$e^{j\Omega_0n}$	$2\pi\sum_k\delta(\Omega-\Omega_0-2\pi k)$

有限长全 1 序列证明：

\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\Omega n} =\frac{1-e^{-j\Omega N}}{1-e^{-j\Omega}} =e^{-j\Omega(N-1)/2}\frac{\sin(N\Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}

13.4 单边 Z 定义

X_+(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}

13.5 单边 Z 常用公式

序列	单边 Z
$x[n]$	$X_+(z)$
$x[n-1]$	$z^{-1}X_+(z)+x[-1]$
$x[n-2]$	$z^{-2}X_+(z)+x[-1]z^{-1}+x[-2]$
$x[n+1]$	$zX_+(z)-zx[0]$
$x[n+2]$	$z^2X_+(z)-z^2x[0]-zx[1]$

计算证明：

\sum_{n=0}^{\infty}x[n-1]z^{-n} =x[-1]+\sum_{n=1}^{\infty}x[n-1]z^{-n}

令 $m=n-1$ ：

x[-1]+z^{-1}\sum_{m=0}^{\infty}x[m]z^{-m} =x[-1]+z^{-1}X_+(z)

13.6 Z 初值定理与终值定理

初值定理：

x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z)

终值定理：

\lim_{n\to\infty}x[n] =\lim_{z\to1}(1-z^{-1})X(z)

适用条件： $(1-z^{-1})X(z)$ 的极点全部在单位圆内。若单位圆上有非 $z=1$ 极点，通常是持续振荡，终值不存在。

16.3 Z 反变换基本对