信号与系统
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A 类考点综合题7-8月

差分方程与 H(z)

掌握 差分方程与 H(z) 的定义、适用条件、常见题型和至少一种稳定解法。 易错边界：因果稳定要求极点在单位圆内。

为什么要掌握

变换域题的得分点在收敛域、零极点图和系统性质之间的对应关系，少一个条件就可能判错。

进入这类题的第一步

入口：先判断变换类型和收敛条件，再用性质表拆成时移、尺度、微分、积分、卷积或乘积。

核心公式与边界

定义：X(z)=∑n=−∞∞x[n]z−nX(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}；同一个代数式配不同 ROC，时域序列可能不同。

因果稳定要求极点在单位圆内。

理解路径

  1. 定义层：先区分连续/离散、时域/频域、输入/系统/输出。830 的信号题常把这几组对象混合考。
  2. 本质层：拉普拉斯/Z 变换把系统性质转为代数结构。零极点图和 ROC 决定了时域序列、因果性和稳定性。
  3. 题型层：不要只写代数式，必须同时写 ROC。因果系统 ROC 在最外极点外，稳定要求单位圆或虚轴条件被包含。
  4. 落地层：这个点当前优先级为 A，阶段安排为 7-8月，题型标签是“综合题”。今天学完后至少留下一道错题或一道例题编号。

推导与检查顺序

  1. 先区分连续/离散、时域/频域、输入/系统/输出。
  2. 从定义式推性质：线性、时不变、因果、稳定都按反例或条件验证。
  3. 涉及变换域时先写 ROC 或频率变量，再判断系统性质。
  4. 题目完成后用特殊输入、单位冲激或零输入做快速校验。

相关公式

  1. 连续卷积：y(t)=x(t)∗h(t)=∫−∞∞x(τ)h(t−τ) dτy(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau。
  2. 离散卷积：y[n]=x[n]∗h[n]=∑k=−∞∞x[k]h[n−k]y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]。
  3. LTI 完全响应：零输入响应 + 零状态响应；零状态响应可由卷积求。
  4. 因果 LTI：h(t)=0,t<0h(t)=0,t<0 或 h[n]=0,n<0h[n]=0,n<0；稳定 LTI：∫∣h(t)∣dt<∞\int|h(t)|dt<\infty 或 ∑∣h[n]∣<∞\sum|h[n]|<\infty。
  5. 频域系统函数：Y=HXY=HX；串联系统函数相乘，并联系统函数相加。

训练落地

  1. 真题索引：当前仓库没有内置官方历年题原文，不伪造年份和题号；拿到真题/回忆版后按“年份-题号-考点-错因”补入。
  2. 训练来源：清华 830 往年题/回忆版、指定教材课后题、信号与系统专题题。
  3. 往年题型：卷积、傅里叶/拉普拉斯/Z 变换、系统性质、采样调制常做综合串联，复盘必须画时域或频域图。
  4. 落地动作：本卡片学完后，至少补 1 条“年份/资料名-题号-用到的第一步-错因”。