信号与系统
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第 5 章 · 原题号 5.20

习题 5.20

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 290 页已核对

设因果离散时间线性时不变系统的差分方程为

y[n]+a1y[n−1]+a2y[n−2]=bx[n]−3x[n−1]+3x[n−2]y[n]+a_1y[n-1]+a_2y[n-2]=bx[n]-3x[n-1]+3x[n-2]

已知该系统满足如下两条件：

① 在初始状态 y[−2]=Ay[-2]=A，y[−1]=By[-1]=B，以及输入

x[n]=(82023)ncos⁡(πn)u[n]x[n]=\left(\frac{\sqrt{8}}{2023}\right)^n\cos(\pi n)u[n]

的作用下，系统的零输入响应为

yzi[n]=2n+2u[n]−3n+2u[n];y_{zi}[n]=2^{n+2}u[n]-3^{n+2}u[n]\text{;}

② 当输入 x[n]=4nx[n]=4^n 时，输出

y[n]=−92⋅4n;y[n]=-\frac{9}{2}\cdot 4^n\text{;}

请回答下列问题：

(1) 求 AA、BB 的值；

(2) 求系统函数 H(z)H(z)，画出其零极图，并表示出收敛域；

(3) 画出系统的模拟框图；

(4) 确定系统的单位冲击响应 h[n]h[n]，判断系统的稳定性；

(5) 当输入 x[n]=5n⋅cos⁡πnx[n]=5^n\cdot\cos\pi n 时，求系统的输出；

(6) 当输入 x[n]=cos⁡πnx[n]=\cos\pi n 时，求系统的输出；

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

解析已隐藏。先在纸上写出第一步、关键公式和适用条件，再核对答案。

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