信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.35

习题 3.35

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

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第三十五题题目

【芝麻研行习题 3.35】☆☆☆☆☆

求解下列问题（后面的问题可以使用前面问题的结论，无论做出与否）

（1）证明：

∑n=−∞+∞f(t+nT)=∑n=−∞+∞1TF(nω0)ejnω0t\sum_{n=-\infty}^{+\infty} f(t+nT)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}F(n\omega_0)e^{jn\omega_0t}

其中 F(ω)=FT{f(t)}F(\omega)=\mathrm{FT}\{f(t)\}，ω0=2πT\omega_0=\dfrac{2\pi}{T}。

（2）（14 分）设 f(t)=e−atu(t)f(t)=e^{-at}u(t)，a>0a>0。

（i）画出

f~(t)=∑n=−∞+∞f(t+nT),T>0\widetilde f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(t+nT),\quad T>0

的波形；

（ii）求信号 f0(t)=f~(t){u(t)−u(t−T)}f_0(t)=\widetilde f(t)\{u(t)-u(t-T)\} 的傅里叶变换，并利用 f0(t)f_0(t) 的傅里叶变换 F0(ω)F_0(\omega) 和结论（1）计算 f~(t)\widetilde f(t) 的傅里叶级数展开和傅里叶变换 F~(ω)\widetilde F(\omega)。

（iii）利用 f(t)f(t) 的傅里叶变换和结论（1）计算 f~(t)\widetilde f(t) 的傅里叶级数展开。

（3）（14 分）设

g(t)=aπ(a2+t2),a>0,g~(t)=∑n=−∞+∞g(t+nT),T>0g(t)=\frac{a}{\pi(a^2+t^2)},\quad a>0,\quad \widetilde g(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}g(t+nT),\quad T>0

（i）计算 g~(t)\widetilde g(t) 的傅里叶级数展开和傅里叶变换 G~(ω)\widetilde G(\omega)。

（ii）证明等式

∑n=−∞+∞11+n2=∑n=−∞+∞πe−2π∣n∣\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\pi e^{-2\pi|n|}

其中 a>0a>0；

（iii）求级数 ∑n=0+∞11+n2\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{1+n^2} 的和。

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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