第三十六题题目

【芝麻研行习题 3.36】

已知信号

1. 画出下述信号的波形，并写出分段表达式。

   (a) $y_1(t)=f_1(t)\cdot f_2(t)$

   (b) $y_2(t)=f_1(t)*f_2(t)$

   (c) $y_3(t)=f_1(t)\cdot\left[f_2(t+T)+f_2(t-T)\right]$

   (d) $y_4(t)=f_1(t)*\left[f_2(t+T)+f_2(t-T)\right]$

   (e) $y_5(t)=\frac{d^2f_1(t)}{dt^2}*f_2(t)$

   (f) $y_6(t)=\left[\int_{-\infty}^{t}f_1(\tau)\,d\tau\right]*f_2(t)$

   (g) 若取

2. 假设有一个线性时不变系统对 $f_1(t)$ 的响应为

(1) 画出

的波形，并写出用 $u(t)$ 表示的闭合表达式。

(2) 求输入 $e(t)$ 时，画出系统的输出 $r(t)$ 的波形。

(3) 设 $f(t)$ 是以

为周期的周期信号，已知傅里叶级数系数为 $C_n$，求信号 $f(t)u(t)$ 的傅里叶变换。

3. 小题 2 是根据小题 1 在随便一拍脑袋的情况下构造出来的。如果解出小题 2，可以注意到 $e(t)$ 和 $r(t)$ 都具有单边周期的性质，而单边周期的信号的频谱必然在该周期 $T_1$ 所决定的所有

这样的频率点上有冲激存在。可上一题奇怪的是 $r(t)$ 的单边周期居然是 $e(t)$ 的单边周期的两倍，也就是说 $r(t)$ 含有冲激的频率点居然比 $e(t)$ 的含冲激的频率点还要多。这引起了我对上一小题 2 所假设的 LTI 系统的存在性产生了怀疑（只是怀疑，毕竟不能排除 $H(\omega)$ 中可能有冲激嘛），即真的存在对 $f_1(t)$ 的响应为 $r_1(t)$ 的 LTI 系统吗？接下来我们不妨探讨 2 问中 LTI 系统的存在性这个问题。

(1) 是否存在一个 LTI 系统，当输入为 $x(t)=\cos(2t)$ 时，输出为 $y(t)=\cos(3t)$？

(2) 有三个系统（从左至右 a，b，c），他们各自的一组输入输出频谱（上为输入，下为输出）如下所示，其中哪些系统一定不是 LTI 系统？

频谱图的文字化定义如下：

• 系统 a：输入频谱为关于 $\omega=0$ 对称的三角形，支撑区间为两个竖直虚线所标出的区间；三角形在 $\omega=0$ 处取最大值。输出频谱在同一支撑区间内为关于 $\omega=0$ 对称的“V”形，$\omega=0$ 处为零，两端取较大值。
• 系统 b：输入频谱为支撑在两个竖直虚线之间、幅值为常数的矩形频谱。输出频谱由位于 $\omega<0$、$\omega=0$ 和 $\omega>0$ 的三个冲激组成；左右两个冲激等高，中间冲激的高度较大。
• 系统 c：输入频谱为关于 $\omega=0$ 对称的三角形，支撑区间为两个竖直虚线所标出的区间；三角形在 $\omega=0$ 处取最大值。输出频谱为支撑在同一支撑区间内、关于 $\omega=0$ 对称的三角形，在 $\omega=0$ 处取最大值，但输出三角形的峰值低于输入三角形的峰值。

图中三个系统从左至右依次标注为“系统 a”“系统 b”“系统 c”。

(3) 求 $f_1(t)$，$f_1'(t)$ 的傅里叶变换 $F_1(\omega)$，$F_1'(\omega)$，并画出频谱 $F_1(\omega)$。

(4) 求信号 $r_1(t)$ 的傅里叶变换。本大题第 2 问中所预设的 LTI 系统是否真实存在？