信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.80

习题 3.80

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

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【芝麻研行习题 3.80】

已知 f1(t)f_1(t) 和 f2(t)f_2(t) 的傅里叶变换 F1(ω)F_1(\omega) 和 F2(ω)F_2(\omega) 如下图所示。对信号

f(t)=f1(t)+f22(t)f(t)=f_1(t)+f_2^2(t)

进行采样，采样周期为 TsT_s，采样之后信号为 fs(t)f_s(t)。

图中频谱可等价表示为

F1(ω)={−ω2π,−2π<ω<0,ω2π,0<ω<2π,0,∣ω∣>2π,F_1(\omega)= \begin{cases} -\frac{\omega}{2\pi},&-2\pi<\omega<0,\\ \frac{\omega}{2\pi},&0<\omega<2\pi,\\ 0,&|\omega|>2\pi, \end{cases}

且 F1(−2π)=F1(2π)=1F_1(-2\pi)=F_1(2\pi)=1，F1(0)=0F_1(0)=0。

F2(ω)={1,∣ω∣<2π,0,∣ω∣>2π.F_2(\omega)= \begin{cases} 1,&|\omega|<2\pi,\\ 0,&|\omega|>2\pi. \end{cases}

(1) 若要从 fs(t)f_s(t) 中恢复出原始信号 f(t)f(t)，试确定最大采样周期 TsT_s 取值，并在该取值条件下确定 fs(t)f_s(t) 的频谱 Fs(ω)F_s(\omega)；

(2) 若 fs(t)f_s(t) 经过下图所示的理想低通滤波器 H(jω)H(j\omega)，求经过滤波器的输出信号 y(t)y(t)。

滤波器频率响应为

H(jω)={1,∣ω∣<2π,0,∣ω∣>2π.H(j\omega)= \begin{cases} 1,&|\omega|<2\pi,\\ 0,&|\omega|>2\pi. \end{cases}
F1(omega)Triangular even spectrum F1(omega), with zeros at omega=0 and height 1 at omega=+-2pi.
Triangular even spectrum F1(omega), with zeros at omega=0 and height 1 at omega=+-2pi.
F1
F2(omega)Rectangular spectrum F2(omega), equal to 1 for |omega|<2pi and zero outside.
Rectangular spectrum F2(omega), equal to 1 for |omega|<2pi and zero outside.
F2
H(jomega)Ideal low-pass frequency response H(jomega), equal to 1 for |omega|<2pi and zero outside.
Ideal low-pass frequency response H(jomega), equal to 1 for |omega|<2pi and zero outside.
H

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解析

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