第七十九题题目

【芝麻研行习题 3.79】☆☆☆

如下图 (b) 所示的系统中，$x(t)$ 为频带有限的实信号，已知 $x(t)$ 的频谱如图 (a) 所示，其中

图 (a) 中，$X(j\omega)$ 为关于原点的偶对称双边三角形频谱：在区间 $[\omega_1,\omega_2]$ 上为底边的三角形，在 $\omega_0$ 处达到幅值 $1$；在区间 $[-\omega_2,-\omega_1]$ 上为其关于原点的对称三角形，在 $-\omega_0$ 处达到幅值 $1$；其余频率处为零。三角形的端点分别位于 $\omega_1$、$\omega_2$、$-\omega_1$ 和 $-\omega_2$，对应幅值均为 $0$。

其中

注：符号 $G_{\tau}(\cdot)$ 是指宽度为 $\tau$ 的标准门信号。

(1) 写出信号 $x(t)$ 的时域表达式；

(2) 画出信号 $x_s(t)$ 的频谱图；

(3) 为了从 $x_s(t)$ 中恢复 $x(t)$，请确定频谱不混叠的条件（即抽样间隔 $T$ 应满足的条件）；

(4) 如果 $T=0.1s$，设计一个从 $x_s(t)$ 中恢复 $x(t)$ 的系统。

图 (b) 所示系统的信号流程为：$x(t)$ 先与 $\cos \omega_0t$ 相乘，再通过频率响应为 $H_1(j\omega)$ 的系统，最后与

相乘，输出为 $x_s(t)$。