习题 3.82

【芝麻研行习题 3.82】

已知一个信号处理系统如图 (a) 所示，其中

$H_1(j\omega)$ 波形如图 (b) 所示。

图 (a) 的系统连接关系为：输入 $f(t)$ 先通过滤波器 $H_1(j\omega)$，输出为 $f_1(t)$；$f_1(t)$ 与冲激串 $\delta_T(t)$ 相乘，得到 $f_s(t)$；$f_s(t)$ 再通过理想低通滤波器 $H_2(j\omega)$，输出为 $y(t)$。

图 (b) 表明 $H_1(j\omega)$ 为以 $\omega=0$ 为顶点的对称三角形频率响应：在 $\omega=0$ 处幅度为 $1$，在 $\omega=-2\omega_m$ 及 $\omega=2\omega_m$ 处幅度为 $0$，且在区间 $[-2\omega_m,2\omega_m]$ 内为直线。因此

(1) 画出 $f_1(t)$ 和 $f_s(t)$ 的频谱；

(2) 欲使 $f_s(t)$ 包含 $f_1(t)$ 的全部信息，最大采样间隔 $T_s$ 应为多大？

(3) 在以 $2\omega_s$（$\omega_s$ 为奈奎斯特角频率）进行采样时，欲使 $y(t)=f_1(t)$，求理想低通滤波器 $H_2(j\omega)$ 截止频率 $\omega_c$ 取值范围。