信号与系统
返回题库
第 3 章 · 原题号 3.130

习题 3.130

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 180 页已核对

【芝麻研习习题 3.130】☆☆☆☆☆

对二元函数 f(t1,t2)f(t_1,t_2) 可以定义二维傅里叶变换

F(ω1,ω2)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(t1,t2)e−j(ω1t1+ω2t2)dt1dt2F(\omega_1,\omega_2)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t_1,t_2)e^{-j(\omega_1t_1+\omega_2t_2)}\mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2

类似地可以对两个二元函数 f(t1,t2)f(t_1,t_2) 和 g(t1,t2)g(t_1,t_2) 定义二维卷积，记为

f∗∗g=∫−∞+∞∫−∞+∞f(τ1,τ2)g(t1−τ1,t2−τ2)dτ1dτ2f**g=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau_1,\tau_2)g(t_1-\tau_1,t_2-\tau_2)\mathrm{d}\tau_1\mathrm{d}\tau_2

也可以定义二维相关函数

Rfg(t1,t2)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(τ1,τ2)g∗(τ1−t1,τ2−t2)dτ1dτ2R_{fg}(t_1,t_2)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau_1,\tau_2)g^*(\tau_1-t_1,\tau_2-t_2)\mathrm{d}\tau_1\mathrm{d}\tau_2

请回答下列问题：

(1) 设 f1(t)f_1(t)、f2(t)f_2(t) 的一维傅里叶变换分别是 F1(ω)F_1(\omega)、F2(ω)F_2(\omega)，请证明：

f(t1,t2)=f1(t1)f2(t2)f(t_1,t_2)=f_1(t_1)f_2(t_2) 的二维傅里叶变换为 F(ω1,ω2)=F1(ω1)F2(ω2)F(\omega_1,\omega_2)=F_1(\omega_1)F_2(\omega_2)，并求

f(t1,t2)=2π2Sa(t1)Sa(t2)f(t_1,t_2)=\frac{2}{\pi^2}S_a(t_1)S_a(t_2)

的二维傅里叶变换。

(2) 令

F(ω1,ω2)=∫−∞+∞[∫−∞+∞f(t1,t2)e−jω1t1dt1]e−jω2t2dt2F(\omega_1,\omega_2)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t_1,t_2)e^{-j\omega_1t_1}\mathrm{d}t_1\right]e^{-j\omega_2t_2}\mathrm{d}t_2

可以看出 F(ω1,ω2)F(\omega_1,\omega_2) 是由 f(t1,t2)f(t_1,t_2) 先将 t2t_2 视为常数，对 t1t_1 作一维傅里叶变换得 Y(ω1,t2)Y(\omega_1,t_2)，进而再将 ω1\omega_1 视为单数，对 t2t_2 作一维傅里叶变换而得到。请依据上述思路，推导二维傅里叶反变换表达式，即用 F(ω1,ω2)F(\omega_1,\omega_2) 来表示 f(t1,t2)f(t_1,t_2)。

(3) 请将 f∗∗gf**g 的二维傅里叶变换用 f(t1,t2)f(t_1,t_2) 和 g(t1,t2)g(t_1,t_2) 的二维傅里叶变换来表示，无需给出证明。

(4) 请给出二维相关函数 Rfg(t1,t2)R_{fg}(t_1,t_2) 与二维卷积 f∗∗gf**g 之间的关系。

(5) 证明

∫−∞+∞∫−∞+∞∣f(t1,t2)∣2dt1dt2=1(2π)2∫−∞+∞∫−∞+∞∣F(ω1,ω2)∣2dω1dω2\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t_1,t_2)|^2\mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2 =\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega_1,\omega_2)|^2\mathrm{d}\omega_1\mathrm{d}\omega_2

并计算

∫−∞+∞∫−∞+∞∣2π2Sa(t1)Sa(t2)∣2dt1dt2\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{2}{\pi^2}S_a(t_1)S_a(t_2)\right|^2\mathrm{d}t_1\mathrm{d}t_2\text{}

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

解析已隐藏。先在纸上写出第一步、关键公式和适用条件，再核对答案。

记录本次练习

结果会保存在本机，并通过统一课程接口同步给未来总平台。