信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.129

习题 3.129

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 179 页已核对

对于实信号 f(t)f(t)，若积分

Φ(ω)=∫−∞+∞f(t)(cos⁡ωt+sin⁡ωt) dt\Phi(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)(\cos \omega t+\sin \omega t)\,dt

存在，则 Φ(ω)\Phi(\omega) 称为实信号 f(t)f(t) 的 Hartley 变换。

(1) 若 f(t)f(t) 的连续时间傅里叶变换为 F(ω)F(\omega)，试将 F(ω)F(\omega) 表达为实部加虚部的形式为

F(ω)=R(ω)+jI(ω)F(\omega)=R(\omega)+jI(\omega)\text{}

请证明：Φ(ω)=R(ω)−I(ω)\Phi(\omega)=R(\omega)-I(\omega)；

(2) 若令

f(t)=e−12tu(t),f(t)=e^{-\frac{1}{2}t}u(t)\text{,}

求 f(t)f(t) 的 Hartley 变换 Φ(ω)\Phi(\omega)；

(3) 若将 Hartley 变换 Φ(ω)\Phi(\omega) 当作某信号 φ(t)\varphi(t) 的连续时间傅里叶变换，请证明

φ(t)=fe(t)+jfo(t),\varphi(t)=f_e(t)+jf_o(t)\text{,}

其中 fe(t)、fo(t)f_e(t)\text{、}f_o(t) 分别是 f(t)f(t) 的偶部、奇部分量，即

fe(t)=f(t)+f(−t)2,fo(t)=f(t)−f(−t)2;f_e(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2},\qquad f_o(t)=\frac{f(t)-f(-t)}{2}\text{;}

(4) 请利用 Φ(t)\Phi(t) 来表示 f(t)f(t)，即找出 Hartley 反变换的表达式。

(5) 类似地，对于取值在 0∼N−10\sim N-1 的 NN 点长序列 f[n]f[n]，我们可以定义离散哈特利变换（DHT）为

Φ(K)=∑n=0N−1f[n]cos⁡(2πKnN),\Phi(K)=\sum_{n=0}^{N-1}f[n]\cos\left(\frac{2\pi Kn}{N}\right)\text{,}

其中

cas⁡θ=cos⁡θ+sin⁡θ,K=0,1,2,⋯ ,N−1\operatorname{cas}\theta=\cos\theta+\sin\theta\text{,}\qquad K=0,1,2,\cdots,N-1\text{}

请证明：

(i)

∑K=0N−1cos⁡(2πKnN)cos⁡(2πKmN)={N,n=m,0,n≠m\sum_{K=0}^{N-1}\cos\left(\frac{2\pi Kn}{N}\right)\cos\left(\frac{2\pi Km}{N}\right)= \begin{cases} N,&n=m,\\ 0,&n\ne m\text{} \end{cases}

提示：先证

∑K=0N−1ejK(2πN)n={N,n=0,±N,±2N,⋯ ,0,n≠0,±N,±2N,⋯\sum_{K=0}^{N-1}e^{jK\left(\frac{2\pi}{N}\right)n}= \begin{cases} N,&n=0,\pm N,\pm2N,\cdots,\\ 0,&n\ne0,\pm N,\pm2N,\cdots\text{} \end{cases}

(ii)

f[n]=1N∑K=0N−1Φ(k)cos⁡(2πKnN)f[n]=\frac{1}{N}\sum_{K=0}^{N-1}\Phi(k)\cos\left(\frac{2\pi Kn}{N}\right)\text{}

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解析

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