习题 3.128

第 128 题题目

【芝麻研行习题 3.128】☆☆☆

某信号处理系统如图所示。

带限滤波系统 $H_1(j\omega)$ 如下图所示，

系统连接关系为：$x(t)$ 先通过带限滤波器 $H_1(j\omega)$，输出为 $x_1(t)$；$x_1(t)$ 依次与 $\cos \omega_0t$ 相乘，得到 $y_1(t)$，再与 $\cos \omega_0t$ 相乘，得到 $y_2(t)$；$y_2(t)$ 通过理想低通滤波器 $H_2(j\omega)$ 后得到 $y_3(t)$；$y_3(t)$ 与 $P(t)$ 相乘得到 $y_s(t)$；$y_s(t)$ 再通过 $H_3(j\omega)$，输出为 $y(t)$。

图示滤波器的频率响应为顶点在 $\omega=0$、幅值为 $1$，并在 $\omega=\pm2\omega_m$ 处降为零的对称三角形，即

(1) 画出 $x_1(t)$、$y_1(t)$、$y_2(t)$ 的频谱。

(2) 若 $y_3(t)=x_1(t)$，即为无失真恢复，求理想低通滤波器 $H_2(j\omega)$。

(3) 在 (2) 问基础上，欲使信号 $y_s(t)$ 包含 $y_3(t)$ 的全部信息，求采样周期 $T_s$ 的最大取值 $T_{\max}$。

(4) 分别画出 $T_s$ 等于 $T_{\max}$、$\frac{1}{2}T_{\max}$、$\frac{4}{3}T_{\max}$、$2T_{\max}$ 时，信号 $y_s(t)$ 的频谱 $Y_s(\omega)$。

(5) 若

重复 (3) 问，并画出在 $T_s=\frac{1}{2}T_{\max}$ 且 $\tau=\frac{T_s}{2}$ 时，信号 $y_s(t)$ 的频谱 $Y_s(\omega)$。

(6) 在 (5) 问的基础上，若要从 $y_s(t)$ 中恢复 $x_1(t)$，求 $H_3(j\omega)$。

(7) 在 (5) 问的基础上，能否找到一个 LTI 系统从 $y_s(t)$ 中恢复 $x(t)$？若能，找出该 LTI 系统；若不能，请给出理由。