习题 3.127

第 127 题题目

【芝麻研行习题 3.127】

有一待处理信号 $e(t)$，其频谱 $E(\omega)$ 如下所示，现利用如下抽样系统对 $e(t)$ 进行采样，采样信号 $p(t)$ 如图所示：

频谱图的横轴为 $\omega$，在 $\omega=-\omega_m$ 与 $\omega=\omega_m$ 处频谱值为 $0$，在 $\omega=0$ 处频谱值为 $1$，两端点与峰值之间均为直线。即

图中频谱纵轴标注为 $E(t)$。

抽样信号 $p(t)$ 是周期为 $2T$ 的冲激序列：在 $t=2kT$ 处有幅度为 $1$ 的冲激，在 $t=(2k+1)T$ 处有幅度为 $-1$ 的冲激，其中 $k\in\mathbb{Z}$。即

抽样系统为：$e(t)$ 与 $p(t)$ 相乘，乘法器输出为 $e_s(t)$；$e_s(t)$ 通过频率响应为 $H(\omega)$ 的系统，输出为 $r(t)$。

(1) 求 $p(t)$ 的傅里叶变换 $P(\omega)$，并画出频谱图；

(2) 求 $e_s(t)$ 的傅里叶变换 $E_s(\omega)$ 的表达式（用 $E(\omega)$ 表示）；

(3) 若要求可能从 $e_s(t)$ 中恢复出 $e(t)$，求采样间隔 $T$ 的最大值 $T_{\max}$，并绘出此时的 $E_s(\omega)$；

(4) 当 $T\le T_{\max}$ 时，若

求 $e_s(t)$ 和 $r(t)$ 频谱；

(5) 承接 (4) 问，试设计一个能从 $r(t)$ 中恢复出 $e(t)$ 的系统；

(6) 是否存在一个 LTI 系统满足第 (5) 问所要求的系统？并阐明原因。