习题 4.37

【芝麻研行习题 4.37】

已知某二阶连续线性时不变系统满足：

1. 系统单位脉冲响应 $h(t)$ 是实信号，且有界，且绝对可积，且 $h(0_+)>0$；

2. 系统函数 $H(s)$ 为有理分式，且在 $s=0$ 有零点，在 $-1+\frac{\sqrt{3}}{2}j$ 处有极点；

3. 当输入为 $x(t)=\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)u(t)$ 时，稳态响应最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$；

则求下列问题：

(1) 求系统的系统函数 $H(s)$，请写出推理过程；

(2) 求系统单位冲激响应 $h(t)$；

(3) 判断系统是哪种滤波器（低通/高通/带通/带阻）？；

(4) 若输入 $x(t)=e^{-t}u(t)$，求系统的输出 $y(t)$；