信号与系统
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第 4 章 · 原题号 4.63

习题 4.63

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 244 页已核对

设信号

f(t)=sin⁡(2πt)[u(t)−u(t−12)]f(t)=\sin(2\pi t)\left[u(t)-u\left(t-\frac{1}{2}\right)\right]\text{}

(1) 求 f(t)f(t) 的拉普拉斯变换；

(2) 求如下周期信号 x(t)x(t) 的傅里叶级数系数 ana_n；

周期信号 x(t)x(t) 的周期为 T0=1T_0=1。在每个周期内，

x(t)={sin⁡(2πt),0≤t≤12,0,12<t<1,x(t)=\begin{cases} \sin(2\pi t),&0\le t\le \frac{1}{2},\\ 0,&\frac{1}{2}<t<1, \end{cases}

并以周期 11 延拓，即 x(t+1)=x(t)x(t+1)=x(t)。图中半波正弦的峰值为 11，其非零区间为 [k,k+12][k,k+\frac{1}{2}]，其中 kk 为任意整数。

(3) 将周期信号 x(t)x(t) 输入到具有如下频率响应特性的线性时不变系统中，求系统响应 y(t)y(t)。

系统频率响应的幅频特性为

∣H(jω)∣={1−∣ω∣3π,∣ω∣≤3π,0,∣ω∣>3π,|H(j\omega)|=\begin{cases} 1-\frac{|\omega|}{3\pi},&|\omega|\le 3\pi,\\ 0,&|\omega|>3\pi, \end{cases}

相频特性为

φ(ω)={π2,0<ω<3π,−π2,−3π<ω<0.\varphi(\omega)=\begin{cases} \frac{\pi}{2},&0<\omega<3\pi,\\ -\frac{\pi}{2},&-3\pi<\omega<0. \end{cases}

图示在 ω=0\omega=0 处的幅值为 11，相位为 00。

x(t)Periodic half-wave sine, T0=1
Periodic half-wave sine, T0=1half-wave sine
x(t)
|H(jω)|Magnitude response
Magnitude response
|H(jω)|
φ(ω)Phase response
Phase response
φ(ω), 0<ω<3πφ(ω), -3π<ω<0

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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