习题 4.89

【芝麻研行习题 4.89】

某因果稳定的线性时不变系统流图如下所示。令输入为 $E(s)$、输出为 $R(s)$。图中有三个依次相连的中间求和节点，按从左至右记为 $x_0,x_1,x_2$；各支路及其方向、传输系数为：

• $E(s)$ 至 $x_0$：$1$；
• $x_0$ 至 $x_1$：$s^{-1}$；
• $x_1$ 至 $x_2$：$s^{-1}$；
• $x_2$ 至 $R(s)$：$1$；
• $x_1$ 至 $R(s)$：$1$；
• $x_1$ 至 $x_0$：$-(\alpha+1)$；
• $x_2$ 至 $x_0$：$-\alpha$。

各节点的输出等于所有输入支路信号之和。

(1) 求上述系统的系统函数 $H(s)$；

(2) 求 $\alpha$ 的取值范围，并画出系统零极图和收敛域；

(3) 画出系统的幅频特性和相频特性，并标注 $-3\,\mathrm{dB}$ 频率点的位置；（注：频率下降 $3\,\mathrm{dB}$ 时，对应的幅度变为以前的 $1/\sqrt{2}$。）

(4) 若系统起始状态为

当输入 $e(t)=e^{-2t}u(t)$ 时，求系统的全响应；

(5) 若系统起始状态为

当输入 $e(t)=\sin t\cdot u(t)$ 时，求系统的稳态响应。