信号与系统
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第 8 章 · 原题号 8.11

习题 8.11

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 423 页已核对

证明下面三个结论：

(1) 任意周期信号

f(t)=∑n=−∞+∞Fnejnω0tf(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_n e^{jn\omega_0t}

的自相关函数

R(τ)=∑n=−∞+∞∣Fn∣2ejnω0τR(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|F_n|^2e^{jn\omega_0\tau}

；

(2) 信号

f(t)=∑i=1nAicos⁡(ωit+θi)f(t)=\sum_{i=1}^{n}A_i\cos(\omega_i t+\theta_i)

的自相关函数

R(τ)=∑i=1nAi22cos⁡(ωiτ)R(\tau)=\sum_{i=1}^{n}\frac{A_i^2}{2}\cos(\omega_i\tau)

；

(3) 信号

f(t)=∑i=1nAicos⁡(ωit+θi)u(t)f(t)=\sum_{i=1}^{n}A_i\cos(\omega_i t+\theta_i)u(t)

的自相关函数

R(τ)=∑i=1nAi24cos⁡(ωiτ)R(\tau)=\sum_{i=1}^{n}\frac{A_i^2}{4}\cos(\omega_i\tau)

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

解析已隐藏。先在纸上写出第一步、关键公式和适用条件，再核对答案。

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