信号与系统
返回题库
第 8 章 · 原题号 8.12

习题 8.12

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 424 页已核对

【芝麻研行习题 8.12】

(1) 论证 sin⁡(mω0t)\sin(m\omega_0 t) 和 sin⁡(nω0t)\sin(n\omega_0 t) 在区间 (0,T)(0,T) 上是正交的吗？是归一化的吗？其中

T=2πω0;T=\frac{2\pi}{\omega_0}\text{;}

(2) 对于函数 φm(t)\varphi_m(t) 和 φn(t)\varphi_n(t)，重做一问，其中

φk(t)=1T[sin⁡(kω0t)+cos⁡(kω0t)]\varphi_k(t)=\frac{1}{\sqrt{T}}\left[\sin(k\omega_0t)+\cos(k\omega_0t)\right]

；

(3) 设 {φi(t)}\left\{\varphi_i(t)\right\} 是区间 (a,b)(a,b) 上的归一化正交信号集，

x(t)=∑iaiφi(t),x(t)=\sum_i a_i\varphi_i(t)\text{,}

其中 aia_i 为复常数。证明：

∫ab∣x(t)∣2dt=∑i∣ai∣2\int_a^b|x(t)|^2dt=\sum_i|a_i|^2

；

(4) 设 φ1(t),…,φN(t)\varphi_1(t),\ldots,\varphi_N(t) 反在时间区间 0≤t≤T0\leq t\leq T 上是非零的，而且它们在此时间区上是归一化正交。若 LTI 系统 LiL_i 是 φi(t)\varphi_i(t) 的匹配滤波器。证明：若将 φj(t)\varphi_j(t) 输入该系统，则当 i=ji=j 时，在时刻 TT 系统输出为 11，否则系统在时刻 TT 输出为 00。

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

解析已隐藏。先在纸上写出第一步、关键公式和适用条件，再核对答案。

记录本次练习

结果会保存在本机，并通过统一课程接口同步给未来总平台。