第05讲 静电场、电势、导体和电容

第05讲 静电场、电势、导体和电容

本讲只解决什么问题

本讲只讲静电基本方程和电势。边值方法放到第06讲，Green 函数和多极展开放到第07讲。

静电基本方程

$$\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon}$$ $$\nabla\times\mathbf E=0$$

第二式保证可引入电势：

$$\mathbf E=-\nabla\phi$$

于是

$$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon}$$

这叫 Poisson 方程。无电荷区域为 Laplace 方程：

$$\nabla^2\phi=0$$

电势积分式

点电荷：

$$\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{R}$$

连续电荷分布：

$$\phi(\mathbf r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon} \iiint \frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}dV'$$

无限长电荷分布通常不能取无穷远为零电势。

导体和电容

导体静电平衡时为等势体。电容定义为

$$C=\frac{Q}{U}$$

多导体系统可写成电容矩阵：

$$Q_i=\sum_j C_{ij}\phi_j$$

电容矩阵用于多导体静电耦合和 TEM 传输线参数计算，后者见第12讲。

静电能量

离散电荷：

$$W=\frac12\sum_i q_i\phi_i$$

连续分布：

$$W=\frac12\iiint\rho\phi\,dV$$

场能形式：

$$W=\frac12\iiint\mathbf E\cdot\mathbf D\,dV$$

导体表面电场压力：

$$p=\frac12\varepsilon E^2$$

自测题

1. 从 $\mathbf E=-\nabla\phi$ 推出 Poisson 方程。
2. 说明导体静电平衡的三个结论。
3. 写出静电能量的电荷形式和场形式。