电磁场理论
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A 类考点计算题7-8月

平板/同轴/球形电容

掌握 平板/同轴/球形电容 的定义、适用条件、常见题型和至少一种稳定解法。 易错边界：先假设 Q，再求 E、U、C。

为什么要掌握

电磁场不能只背公式。每题先判几何对称性、坐标系、介质区域和边界条件，再决定用积分式还是微分式。

进入这类题的第一步

入口：先说明这个点解决什么问题，再写定义/公式/条件，最后用 2-3 道题检验是否真的会用。

核心公式与边界

公式抓手：先写定义式、适用条件、题型触发词和反例。没有条件的公式不要直接套。

先假设 Q，再求 E、U、C。

理解路径

  1. 定义层：先写场量对象：E,D,H,B\mathbf E,\mathbf D,\mathbf H,\mathbf B，再写介质参数、自由电荷/电流和边界。
  2. 题型层：每题按“对称性、坐标系、边界、方程、积分/微分形式”五步走，先判断再计算。
  3. 落地层：这个点当前优先级为 A，阶段安排为 7-8月，题型标签是“计算题”。今天学完后至少留下一道错题或一道例题编号。

推导与检查顺序

  1. 从麦克斯韦方程的积分形式出发，先判断是否存在球、柱、平面对称。
  2. 若对称性足够，用高斯面把场量提出积分；否则转向电势方程或直接积分。
  3. 介质边界题从切向 EE 连续、法向 DD 跳变推导边界条件。
  4. 电势由场积分得到，电容由 C=Q/UC=Q/U 回到定义。
  5. 最后检查法向方向、自由电荷/束缚电荷和介质参数是否对应。

相关公式

  1. 高斯定律：∮SD⋅dS=Qfree\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S=Q_{\mathrm{free}}，微分形式 ∇⋅D=ρv\nabla\cdot\mathbf D=\rho_v。
  2. 电场与电势：E=−∇V\mathbf E=-\nabla V，泊松方程 ∇2V=−ρv/ε\nabla^2V=-\rho_v/\varepsilon，无源区 ∇2V=0\nabla^2V=0。
  3. 介质关系：D=εE\mathbf D=\varepsilon\mathbf E；导体静电平衡内部 E=0\mathbf E=0。
  4. 静电边界：n^×(E2−E1)=0\hat{\mathbf n}\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=0，n^⋅(D2−D1)=ρs\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf D_2-\mathbf D_1)=\rho_s。
  5. 电容：C=Q/UC=Q/U；能量密度 we=12E⋅Dw_e=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D。

训练落地

  1. 真题索引：当前仓库没有内置官方历年题原文，不伪造年份和题号；拿到真题/回忆版后按“年份-题号-考点-错因”补入。
  2. 训练来源：清华 830 往年题/回忆版、电磁场教材例题与课后题。
  3. 往年题型：高斯/安培、边界条件、平面波、传输线和能量通量常以多步骤计算出现，复盘必须标明边界方向。
  4. 落地动作：本卡片学完后，至少补 1 条“年份/资料名-题号-用到的第一步-错因”。