第06讲 静电边值法：唯一性、分离变量、镜像

第06讲 静电边值法：唯一性、分离变量、镜像

本讲只解决什么问题

本讲只讲求解 Laplace 和 Poisson 边值问题的三个基础工具。Green 函数单独放到第07讲。

唯一性定理

给定区域内电荷分布和边界上的电势，静电解唯一。证明骨架如下。

若有两个解，令

$$u=\phi_1-\phi_2$$

则

$$\nabla^2u=0,\qquad u|_S=0$$

由 Green 第一恒等式：

$$\iiint_V|\nabla u|^2dV=0$$

所以 $\nabla u=0$，再由边界值知 $u=0$。

唯一性定理的意义：构造出的解只要满足方程和全部边界条件，就是正确答案。

分离变量法

无源区域：

$$\nabla^2\phi=0$$

选贴合边界的坐标系，设乘积形式。例如直角坐标：

$$\phi=X(x)Y(y)Z(z)$$

代入后得

$$\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=0$$

每项只含一个变量，故可令其等于分离常数。边界条件决定本征值，正交性决定展开系数。

球坐标轴对称常用通解：

$$\phi(r,\theta)= \sum_{l=0}^{\infty} \left(A_lr^l+\frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta)$$

镜像法

镜像法用虚拟源构造边界条件。典型例子：点电荷 $q$ 位于接地无限导体平面上方 $z=a$，等效镜像为 $-q$ 位于 $z=-a$。

求解区域内电势：

$$\phi= \frac{1}{4\pi\varepsilon} \left(\frac{q}{R_+}-\frac{q}{R_-}\right)$$

导体面上 $R_+=R_-$，所以 $\phi=0$。

自测题

1. 唯一性定理为什么能保证镜像法有效？
2. 分离变量法的三步是什么？
3. 球内问题和球外问题分别要去掉哪类发散项？