第08讲 恒定电流场

第08讲 恒定电流场

本讲只解决什么问题

本讲补齐 830 教案中特有的恒定电流场。它不是静磁场本身，而是电荷在导体或介质中稳定流动的场问题。

基本方程

恒定电流满足

$$\nabla\cdot\mathbf J=0$$

欧姆介质中

$$\mathbf J=\sigma\mathbf E$$

若 $\sigma$ 为常数且 $\mathbf E=-\nabla\phi$，则

$$\nabla\cdot(\sigma\nabla\phi)=0$$

均匀介质中为

$$\nabla^2\phi=0$$

形式上和无源静电问题相同。

边界条件

稳恒电流在界面上满足法向电流连续：

$$\mathbf n\cdot(\mathbf J_2-\mathbf J_1)=0$$

电场切向连续：

$$\mathbf n\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=0$$

若两种导电介质电导率不同，法向电场一般不连续。

电阻和功率

电阻定义为

$$R=\frac{U}{I}$$

焦耳热功率密度为

$$p=\mathbf J\cdot\mathbf E=\sigma E^2$$

总功率为

$$P=\iiint_V\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV$$

静电场与恒定电流场类比

静电场中 $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$，恒定电流场中 $\mathbf J=\sigma\mathbf E$。若几何和边界类似，可用 $\varepsilon$ 与 $\sigma$ 的替换建立类比。

自测题

1. 恒定电流为什么满足 $\nabla\cdot\mathbf J=0$？
2. 写出两种导电介质界面的边界条件。
3. 说明电容问题和电阻问题的类比关系。