信号与系统
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第 1 章 · 原题号 1.21

习题 1.21

逐题解析
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题面提要

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第二十一题题目

【芝麻研行习题 1.21】

一个系统由线性时不变系统 A 和线性时不变系统 B 构成，如图所示。当输入 x(t)=x1(t)x(t)=x_1(t) 时，系统 A 的输出为 z1(t)z_1(t)；当输入 x(t)=x2(t)x(t)=x_2(t) 时，系统 A 的输出为 z2(t)z_2(t)。其中 x1(t)x_1(t)、z1(t)z_1(t)、x2(t)x_2(t) 的波形如图所示。

图 a：

x(t)=x(t2−1)x(t)=x\left(\dfrac{t}{2}-1\right) 为一个矩形脉冲：

x(t2−1)={1,0≤t≤4,0,其他情况.x\left(\dfrac{t}{2}-1\right)= \begin{cases} 1, & 0\le t\le 4,\\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases}

图 b： h(t)h(t) 的波形为：当 0≤t≤10\le t\le 1 时，h(t)=1h(t)=1；当 1≤t≤321\le t\le \dfrac{3}{2} 时，h(t)h(t) 从 11 线性下降至 −1-1；当 32≤t≤2\dfrac{3}{2}\le t\le 2 时，h(t)=−1h(t)=-1；其他时间 h(t)=0h(t)=0。等价地，

h(t)={1,0≤t≤1,5−4t,1≤t≤32,−1,32≤t≤2,0,其他情况.h(t)= \begin{cases} 1, & 0\le t\le 1,\\ 5-4t, & 1\le t\le \dfrac{3}{2},\\ -1, & \dfrac{3}{2}\le t\le 2,\\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases}

系统框图： 输入 x(t)x(t) 依次经过系统 A 和系统 B。系统 A 的输出记为 z(t)z(t)，系统 B 的输出为

y(t)=dz(t)dt.y(t)=\dfrac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}.

已知波形：

  1. x1(t)x_1(t) 为矩形波：
x1(t)={1,0≤t<2,−1,2≤t<4,0,其他情况.x_1(t)= \begin{cases} 1, & 0\le t<2,\\ -1, & 2\le t<4,\\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases}
  1. z1(t)z_1(t) 为矩形波：
z1(t)={1,0≤t<1,−1,1≤t<3,0,其他情况.z_1(t)= \begin{cases} 1, & 0\le t<1,\\ -1, & 1\le t<3,\\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases}
  1. x2(t)x_2(t) 为三角波：从 t=−4t=-4 处的 00 线性上升至 t=−2t=-2 处的 11，再从 t=−2t=-2 处的 11 线性下降至 t=0t=0 处的 00，其他时间为 00。等价地，
x2(t)={0,t<−4,t+42,−4≤t≤−2,−t2,−2≤t≤0,0,t>0.x_2(t)= \begin{cases} 0, & t<-4,\\ \dfrac{t+4}{2}, & -4\le t\le -2,\\ -\dfrac{t}{2}, & -2\le t\le 0,\\ 0, & t>0. \end{cases}

请回答以下问题：

(1) 画出系统 A 的输出 z2(t)z_2(t)；

(2) 当输入 x(t)=x2(t)x(t)=x_2(t) 时，画出整个系统的输出 y(t)y(t)，并确定 y(t)y(t) 在 t=2t=2 时的值。

Fig. aWaveform labeled x(t/2 - 1).
Waveform labeled x(t/2 - 1).
x(t/2 - 1)
Fig. bWaveform h(t).
Waveform h(t).
h(t)
x1(t)Given input waveform x1(t).
Given input waveform x1(t).
x1(t)
z1(t)Given output waveform z1(t).
Given output waveform z1(t).
z1(t)
x2(t)Given triangular input waveform x2(t).
Given triangular input waveform x2(t).
x2(t)

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