信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.28

习题 3.28

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 77 页已核对

【芝麻研行习题 3.28】

已知 y1(t)y_1(t) 和 y2(t)y_2(t) 波形如下所示：

  • y1(t)y_1(t)：当 t<0t<0 时，y1(t)=0y_1(t)=0；在 0≤t≤t00\leq t\leq t_0 上，由点 (0,0)(0,0) 线性上升至点 (t0,3)(t_0,3)；当 t≥t0t\geq t_0 时，y1(t)=3y_1(t)=3。即
y1(t)={0,t<0,3tt0,0≤t≤t0,3,t≥t0.y_1(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\ \dfrac{3t}{t_0}, & 0\leq t\leq t_0,\\ 3, & t\geq t_0. \end{cases}
  • y2(t)y_2(t)：当 t<0t<0 时，y2(t)=−1y_2(t)=-1；在 0≤t≤t00\leq t\leq t_0 上，由点 (0,−1)(0,-1) 线性上升至点 (t0,2)(t_0,2)；当 t≥t0t\geq t_0 时，y2(t)=2y_2(t)=2。即
y2(t)={−1,t<0,−1+3tt0,0≤t≤t0,2,t≥t0.y_2(t)=\begin{cases} -1, & t<0,\\ -1+\dfrac{3t}{t_0}, & 0\leq t\leq t_0,\\ 2, & t\geq t_0. \end{cases}

(1) 请用单位阶跃函数 u(t)u(t) 写出 y1(t)y_1(t) 和 y2(t)y_2(t) 的闭合表达式。

(2) 计算 tu(t)tu(t) 的 Fourier 变换。

(3) 请利用上述结论 (2) 计算 y1(t)y_1(t) 的傅里叶变换 Y1(ω)Y_1(\omega)。

(4) 请利用 Fourier 变换的积分性质计算 Y2(ω)Y_2(\omega)。

y1(t)Piecewise ramp from 0 to 3 over 0 to t0, then constant.
Piecewise ramp from 0 to 3 over 0 to t0, then constant.
y1(t)t=t0
y2(t)Constant at -1 before 0, ramping to 2 at t0, then constant.
Constant at -1 before 0, ramping to 2 at t0, then constant.
y2(t)t=t0

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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