第 3 章 · 原题号 3.41
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题面提要 原 PDF 第 91 页已核对 第四十一题题目
【芝麻研行习题 3.41】☆ ☆ ☆
下图 (a) 所示系统，输入为 x ( t ) x(t) x ( t ) y ( t ) y(t) y ( t ) H 1 ( ω ) H_1(\omega) H 1 ( ω ) ω 0 ≫ ω 2 > ω 1 \omega_0 \gg \omega_2 > \omega_1 ω 0 ≫ ω 2 > ω 1
X ( ω ) = F T { x ( t ) } X(\omega)=FT\{x(t)\}\text{} X ( ω ) = F T { x ( t )} (1) 求 y 1 ( t ) y_1(t) y 1 ( t ) y 2 ( t ) y_2(t) y 2 ( t ) X ( ω ) X(\omega) X ( ω ) H 1 ( ω ) H_1(\omega) H 1 ( ω )
(2) 求系统的频响特性 H ( ω ) H(\omega) H ( ω )
(3) 求系统的单位冲激响应 h ( t ) h(t) h ( t )
图 (a) 系统结构
输入 x ( t ) x(t) x ( t )
上路：x ( t ) x(t) x ( t ) cos ( ω 0 t ) \cos(\omega_0 t) cos ( ω 0 t ) x 1 ( t ) x_1(t) x 1 ( t ) x 1 ( t ) x_1(t) x 1 ( t ) H 1 ( ω ) H_1(\omega) H 1 ( ω ) x 2 ( t ) x_2(t) x 2 ( t ) x 2 ( t ) x_2(t) x 2 ( t ) cos ( ω 0 t ) \cos(\omega_0 t) cos ( ω 0 t ) y 1 ( t ) y_1(t) y 1 ( t )
下路：x ( t ) x(t) x ( t ) sin ( ω 0 t ) \sin(\omega_0 t) sin ( ω 0 t ) x 3 ( t ) x_3(t) x 3 ( t ) x 3 ( t ) x_3(t) x 3 ( t ) H 1 ( ω ) H_1(\omega) H 1 ( ω ) x 4 ( t ) x_4(t) x 4 ( t ) x 4 ( t ) x_4(t) x 4 ( t ) sin ( ω 0 t ) \sin(\omega_0 t) sin ( ω 0 t ) y 2 ( t ) y_2(t) y 2 ( t )
两路输出 y 1 ( t ) y_1(t) y 1 ( t ) y 2 ( t ) y_2(t) y 2 ( t ) y ( t ) y(t) y ( t )
节点关系为
x 1 ( t ) = x ( t ) cos ( ω 0 t ) , x 2 ( t ) = x 1 ( t ) ∗ h 1 ( t ) , y 1 ( t ) = x 2 ( t ) cos ( ω 0 t ) , x 3 ( t ) = x ( t ) sin ( ω 0 t ) , x 4 ( t ) = x 3 ( t ) ∗ h 1 ( t ) , y 2 ( t ) = x 4 ( t ) sin ( ω 0 t ) , y ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t ) , \begin{aligned}
x_1(t)&=x(t)\cos(\omega_0 t),\\
x_2(t)&=x_1(t)*h_1(t),\\
y_1(t)&=x_2(t)\cos(\omega_0 t),\\
x_3(t)&=x(t)\sin(\omega_0 t),\\
x_4(t)&=x_3(t)*h_1(t),\\
y_2(t)&=x_4(t)\sin(\omega_0 t),\\
y(t)&=y_1(t)+y_2(t),
\end{aligned} x 1 ( t ) x 2 ( t ) y 1 ( t ) x 3 ( t ) x 4 ( t ) y 2 ( t ) y ( t ) = x ( t ) cos ( ω 0 t ) , = x 1 ( t ) ∗ h 1 ( t ) , = x 2 ( t ) cos ( ω 0 t ) , = x ( t ) sin ( ω 0 t ) , = x 3 ( t ) ∗ h 1 ( t ) , = x 4 ( t ) sin ( ω 0 t ) , = y 1 ( t ) + y 2 ( t ) , 其中 h 1 ( t ) h_1(t) h 1 ( t ) H 1 ( ω ) H_1(\omega) H 1 ( ω ) ∗ * ∗
图 (b) 滤波器频响特性
H 1 ( ω ) H_1(\omega) H 1 ( ω ) ω = 0 \omega=0 ω = 0
H 1 ( ω ) = { 0 , ∣ ω ∣ ≥ ω 2 , ω 2 − ∣ ω ∣ ω 2 − ω 1 , ω 1 < ∣ ω ∣ < ω 2 , 1 , ∣ ω ∣ ≤ ω 1 . H_1(\omega)=
\begin{cases}
0, & \lvert\omega\rvert\geq \omega_2,\\
\dfrac{\omega_2-\lvert\omega\rvert}{\omega_2-\omega_1}, & \omega_1<\lvert\omega\rvert<\omega_2,\\
1, & \lvert\omega\rvert\leq \omega_1.
\end{cases} H 1 ( ω ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 , ω 2 − ω 1 ω 2 − ∣ ω ∣ , 1 , ∣ ω ∣ ≥ ω 2 , ω 1 < ∣ ω ∣ < ω 2 , ∣ ω ∣ ≤ ω 1 . 图中横轴为 ω \omega ω − ω 2 -\omega_2 − ω 2 − ω 1 -\omega_1 − ω 1 0 0 0 ω 1 \omega_1 ω 1 ω 2 \omega_2 ω 2 H 1 ( ω ) H_1(\omega) H 1 ( ω ) 1 1 1
H1(omega) Symmetric trapezoidal frequency response shown in figure (b). Coordinates use normalized breakpoints: x=-2,-1,1,2 correspond respectively to -omega2,-omega1,omega1,omega2. Symmetric trapezoidal frequency response shown in figure (b). Coordinates use normalized breakpoints: x=-2,-1,1,2 correspond respectively to -omega2,-omega1,omega1,omega2. -omega2 -omega1 0 omega1 omega2 0 1 omega H1(omega)
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