习题 3.42

第四十二题题目

【芝麻研行习题 3.42】在左图所示的调制解调系统中，子系统 $S_1$ 是一个 $90\circ$ 移相器，其频率响应为

子系统 $S_2$ 的单位冲激响应是

输入信号 $x(t)$ 的频谱 $X(j\omega)$ 如右图所示，其中 $\omega_m< \omega_c$。$r_1(t)$、$r_2(t)$ 以及 $r(t)$ 的频谱分别表示为 $R_1(j\omega)$、$R_2(j\omega)$ 和 $R(j\omega)$，输出信号为 $y(t)$。

左图所示系统的连接关系为：输入 $x(t)$ 分为上下两路。上路将 $x(t)$ 与 $\cos(\omega_ct)$ 相乘，得到 $r_1(t)$；下路先通过子系统 $S_1$，再与 $\sin(\omega_ct)$ 相乘，得到 $r_2(t)$。$r_1(t)$ 和 $r_2(t)$ 相加得到 $r(t)$；随后 $r(t)$ 与 $\cos(\omega_ct)$ 相乘，并通过子系统 $S_2$，得到输出 $y(t)$。

右图给出的 $X(j\omega)$ 为：

其中，频谱图在 $-\omega_m$ 到 $0$ 之间为幅度 $1$ 的水平线，在 $0$ 到 $\omega_m$ 之间由幅度 $1$ 线性下降至 $0$，其他频率处为 $0$。

(1) 写出子系统 $S_1$ 的单位冲激响应 $h_1(t)$ 的表达式；

(2) 画出 $R_1(j\omega)$、$R_2(j\omega)$ 以及 $R(j\omega)$；

(3) 要使 $y(t)=x(t)$，确定 $\omega_0$ 的取值范围以及 $A$ 的值。