信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.47

习题 3.47

逐题解析
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题面提要

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第四十七题题目

【芝麻研行为题 3.47】☆☆☆

已知 x(t)x(t)，当 ωc=ωm\omega_c=\omega_m 时，画出 y1(t)y_1(t)、y2(t)y_2(t) 和 y(t)y(t) 的频谱。

系统连接关系如下：

  • 输入 x(t)x(t) 分为两路。
  • 上路将 x(t)x(t) 与 cos⁡(ωct)\cos(\omega_c t) 相乘，输出为 y1(t)y_1(t)。
  • 下路先将 x(t)x(t) 输入频率响应为 H(jω)H(j\omega) 的系统，再与 sin⁡(ωct)\sin(\omega_c t) 相乘，输出为 y2(t)y_2(t)。
  • y1(t)y_1(t) 和 y2(t)y_2(t) 经加法器相加，得到输出 y(t)y(t)，即
y(t)=y1(t)+y2(t).y(t)=y_1(t)+y_2(t).

已知输入信号的频谱 X(jω)X(j\omega) 为实值分段线性函数：

X(jω)={0,ω≤−ωm,−2ωm(ω+ωm),−ωm≤ω≤−ωm2,2ωmω,−ωm2≤ω≤ωm2,2ωm(ωm−ω),ωm2≤ω≤ωm,0,ω≥ωm.X(j\omega)= \begin{cases} 0, & \omega\leq -\omega_m,\\ -\dfrac{2}{\omega_m}(\omega+\omega_m), & -\omega_m\leq\omega\leq-\dfrac{\omega_m}{2},\\ \dfrac{2}{\omega_m}\omega, & -\dfrac{\omega_m}{2}\leq\omega\leq\dfrac{\omega_m}{2},\\ \dfrac{2}{\omega_m}(\omega_m-\omega), & \dfrac{\omega_m}{2}\leq\omega\leq\omega_m,\\ 0, & \omega\geq\omega_m. \end{cases}

其中

H(jω)={j,ω>0,−j,ω<0.H(j\omega)= \begin{cases} j, & \omega>0,\\ -j, & \omega<0. \end{cases}
输入频谱 X(jω)输入频谱 X(jω)，横轴归一化为 ω/ωm。
输入频谱 X(jω)，横轴归一化为 ω/ωm。X(jω)−ωmωm
X(jω)

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解析

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