习题 3.49

【芝麻研行习题 3.49】

某 LTI 系统如图所示，已知

理想采样脉冲信号

其中采样周期为

滤波器 $H_2(j\omega)$ 为一幅度为 $T_s=\frac{\pi}{2}$ 的理想低通滤波器，即：

系统框图可文字定义为：输入 $f(t)$ 分为上下两路。上路将 $f(t)$ 与 $\cos(4t)$ 相乘，输出为 $y_1(t)$；下路先经过滤波器 $H_1(j\omega)$，其输出为 $f_1(t)$，再将 $f_1(t)$ 与 $\sin(4t)$ 相乘，输出为 $y_2(t)$。$y_1(t)$ 与 $y_2(t)$ 经加法器相加，输出为 $y(t)$。$y(t)$ 再与 $p(t)$ 相乘，输出为 $y_s(t)$；$y_s(t)$ 经过滤波器 $H_2(j\omega)$ 后，输出为 $z(t)$。

（1）试画出 $f_1(t)$，$y_1(t)$，$y_2(t)$，$y(t)$ 四个位置的频谱示意图，并求出 $y(t)$ 的时域表达式；

（2）$y(t)$ 经过脉冲 $p(t)$ 采样后得到 $y_s(t)$，请画出信号 $y_s(t)$ 在频率区间 $(-6,6)$ 的频谱图；

（3）经过滤波器 $H_2(j\omega)$ 后输出信号为 $z(t)$，请画出信号 $z(t)$ 的频谱，并求出 $z(t)$ 的时域表达式。