习题 3.50

【芝麻研行习题 3.50】如下图所示无线通信系统，其中平方器的输出等于输入的平方，

系统的信号关系及图中标注如下：

• 输入信号为 $e(t)$，经平方器后输出为 $s(t)$，即

• 发送端的调制器将 $s(t)$ 与 $\cos\omega_c t$ 相乘，发射信号为

• 信号通过天线发射和接收后，接收端输入仍标为 $r(t)$。
• 接收端采用双路解调：上支路将 $r(t)$ 与 $\cos\omega_c t$ 相乘，输出为 $g_1(t)$；下支路将 $r(t)$ 与 $\sin\omega_c t$ 相乘，输出为 $g_2(t)$。两路输出相加后通过传输函数为 $H(\omega)$ 的系统，输出为 $y(t)$。

(1) 当

时，绘出 $s(t)$、$r(t)$、$g_1(t)$、$g_2(t)$、$y(t)$ 的频谱，并写出 $y(t)$ 的时域表达式，其中

(2) 证明：实偶信号的傅里叶变换为实偶函数；

(3) 若 $e(t)$ 为带限于 $[-\omega_m,\omega_m]$ 的信号，试分析发送端的发送信号 $r(t)$ 的频谱的频率分布范围，其中

(4) 现假设 $e(t)$ 均为带限于 $[-\omega_m,\omega_m]$ 的实偶信号。若要求 $y(t)$ 构成 $s(t)$ 的无失真传输，则求 $\omega_m$ 的取值范围。