习题 3.64

【芝麻研行习题 3.64】

已知 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$ 波形如下所示。

图中 $y_1(t)$ 的定义为：当 $t<0$ 时，$y_1(t)=0$；自原点 $O$ 起，波形为一条直线，上升至点 $(t_0,3)$；当 $t\ge t_0$ 时，$y_1(t)=3$。图中以虚线标出了 $t=t_0$ 及 $y_1(t)=3$。

图中 $y_2(t)$ 的定义为：当 $t<0$ 时，$y_2(t)=-1$；自 $t=0$ 时的值 $-1$ 起，波形为一条直线，上升至点 $(t_0,2)$；当 $t\ge t_0$ 时，$y_2(t)=2$。图中以虚线标出了 $t=t_0$ 及 $y_2(t)=2$。

(1) 请用单位阶跃函数 $u(t)$ 写出 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$ 的闭合表达式。

(2) 计算 $tu(t)$ 的傅里叶变换。

(3) 请利用上述结论 (2) 计算 $y_1(t)$ 的傅里叶变换 $Y_1(\omega)$。

(4) 请利用傅里叶变换的积分性质计算 $Y_2(\omega)$。