信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.66

习题 3.66

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

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第六十六题题目

【芝麻研行习题 3.66】

(1) 证明：等式

∑n=−∞+∞x(t+nT)=1T∑k=−∞+∞X(kω0)ejkω0t\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(t+nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(k\omega_0)e^{jk\omega_0t}

其中 X(ω)X(\omega) 是 x(t)x(t) 的傅里叶变换，ω0=2πT\omega_0=\frac{2\pi}{T}；

(2) 证明等式

∑n=−∞+∞e−a∣n∣=∑k=−∞+∞2aa2+(2πk)2\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-a|n|}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{2a}{a^2+(2\pi k)^2}

其中 a>0a>0；

(3) 求级数

∑k=−∞+∞11+k2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+k^2}

的和。

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解析

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